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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-24 23:01:55 +0100
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -17,6 +17,7 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
+\def\russe#1{\foreignlanguage{russian}{#1}}
\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}
\title{Corps locaux, corps globaux}
@@ -56,7 +57,7 @@ séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
\end{définition2}
\begin{remarque2}
-On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact
+On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}, [Ramakrishnan]) est localement compact
si et seulement si il peut être muni d'une topologie
non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
\end{remarque2}
@@ -68,6 +69,19 @@ et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.
\begin{définition2}
+valeur absolue normalisée.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+
+\begin{proposition2}
+Soit $μ$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors $[a]^*μ=|a| μ$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{définition2}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
décroissante à l'infini suivante :
@@ -94,12 +108,38 @@ On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
\end{définition2}
+Exemples. On suppose choisie une fois pour toute une orientation
+sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
+$ψ_∞:x ↦ \exp(2i π x)$ le caractère de $𝐑$ et
+$ψ_p:x ↦ \exp(\frac{2i π}{p}x)$ le caractère de $𝐅_p$ qui s'en
+déduisent.
+
+\begin{enumerate}
+\item $𝐐_p → 𝐔$, $y ↦ ψ_∞(\{ y\})$,
+où $\{y\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $y-\{y\} ∈ 𝐙_p$.
+$K\bo 𝐐_p$ : on compose avec la trace.
+
+\item $𝐑$ ou $𝐂$ : $x ↦ ψ_∞(-\Tr_{K\bo 𝐑}(x))$.
+
+\item $𝐅_p((t))$ : $x ↦ ψ_p(\Res(x dt))$.
+Cas général : choisir $t$ tel que $K \bo 𝐅_p((t))$ soit étale
+et composer avec la trace.
+\end{enumerate}
+
+Dans les deux premiers cas, on notera $ψ_{can}$ le caractère ainsi obtenu.
+Dans le cas « géométrique », il n'y a pas — du moins pour l'instant  —
+de choix visiblement canonique.
+
+L'existence d'un caractère non trivial est un fait général,
+qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
+
\begin{proposition2}
+\XXX
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
Plus précisément :
\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$,
+\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K}-\{0\}$,
et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
@@ -157,6 +197,7 @@ $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l
mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
[signe devant $n$ ? \XXX]
+\item $μ_{[a]^* ψ}=|a|^{½} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -167,11 +208,19 @@ On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\end{démo}
-\begin{exemple2}
+\begin{exemples2}
\XXX
-Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
+\begin{enumerate}
+\item Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
Lien avec sommes de Gauß.
-\end{exemple2}
+\item niveau de $ψ_{can}$ ; volume de $𝒪$ pour $μ_{ψ_{can}}$ (cas réel, complexe, $p$-adique
+etc.).
+\end{enumerate}
+\end{exemples2}
+
+Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
+(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
+près par une unité.
\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative}
@@ -228,6 +277,32 @@ plus jolie.
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}
+\section{Corps globaux}
+
+\subsection{Définitions}
+
+\begin{définition2}
+Corps global premier : $𝐅_q(t)$, $𝐐$, $𝐑$.
+\end{définition2}
+
+[itou pour corps local]
+
+\begin{définition2}
+Corps des constantes.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
+géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
+intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
+\begin{enumerate}
+\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
+\item $P_{K_f} ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble
+fini près).
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
\section{Adèles, idèles}
@@ -252,6 +327,7 @@ infinies.
\begin{enumerate}
\item compact et discret implique fini.
\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{définition2}
@@ -265,22 +341,32 @@ compacts.
Sorites.
\end{proposition2}
-Mesures produits.
+Mesures produits : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
+[Saitô], pp. 239--240).
+☡ Malheureusement, il ne suffit pas de définir l'intégrale
+d'une fonction de $𝒮(A_K)$ : on veut aussi parler du volume
+de $A_K/K$, du module de la multiplication par $x$ etc.
\subsection{Adèles}
\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$.
-On note $A_{S,K}$ l'anneau
+On note $A_{K,S}$ l'anneau
\[
∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.
\[
-A_K=\colim_S A_{S,K}.
+A_K=\colim_S A_{K,S}.
\]
Description de la topologie.
+\subsubsection{Mesure}
+
+\begin{proposition2}
+$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
+\end{proposition2}
+
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
@@ -290,8 +376,11 @@ Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
-discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
-\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme.
+discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
+dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
+\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
+$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
+continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -302,94 +391,134 @@ Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}
\begin{proposition2}
-$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX].
+$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}
-Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?]
-
-\subsection{Idèles}
-
-\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$.
+\begin{théorème2}
+Formule du produit.
+\end{théorème2}
-\subsubsection{}$I_K¹$.
+\begin{démo}[Première démonstration]
+Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
+\end{démo}
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
+\end{démo}
-\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
-\subsection{Transformée de Fourier}
-\subsubsection{$𝒮(A_K)$}
+\subsection{Idèles}
-\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}
+\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
+$𝒦=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
+☡ $C_K$ n'est *pas* compact.
+☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
+l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
+la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
+sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
+vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
+\begin{proposition2}
+\label{topologies induites coïncident}
+Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
+$I¹_K ⊆ I_K$ et $I¹_K ⊆ A_K$ coïncident. Plus précisément, …
+\end{proposition2}
-\section{Fonctions zêta}
+\begin{démo}
+Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
+\end{démo}
-\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
+\subsubsection{}Mesure.
- \[⁂\]
+\begin{théorème2}
+\begin{enumerate}
+\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
+topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
+\item Si $U ⊆ P_K$ est fini et contient les places infinies,
+l'application $𝒪_U^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
+(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+\begin{démo}
+(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
+(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $A_K$ et
+la topologie de $I¹_K$ induite
+$A^×_K ⊆ A_K$ est continu. Il « suffit » de montrer
+que $μ(I_K/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
+de $A_K/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
+Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
+repose sur RR.
+\end{démo}
-\begin{corollaire2}
-\XXX
-Formule du produit.
-\end{corollaire2}
+corollaire :
-\begin{proposition2}
-$k^×$ est discret dans $I_k$ et
-$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure
-$…$ en caractéristique nulle.
-\end{proposition2}
+\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+Sous l'hypothèse de (ii),
+\[
+𝒪_U^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
+\]
+où $r=♯U-1$.
+\end{théorème2}
-Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions
-(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}).
-
-\begin{lemme2}
-\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
-\end{lemme2}
+Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
+F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
+Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour
+démonstrations non adéliques.
\begin{démo}
-\XXX
-Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
-$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
-\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
-Le morphisme
-$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
-est de la forme
-$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
-Passer de la matrice ayant ces colonnes à
-$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
-La formule en résulte.
+Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
+alors $Γ$ est un réseau.
\end{démo}
-variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).
+\subsection{Groupes de Picard}
-Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]
+\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme
+$\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v ∤ ∞})$.
+Comme $I_K/𝒦=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
+isomorphisme canonique
+\[
+C_K/\sur{𝒦} ⥲ \Pic_K$
+\]
+où $\sur{𝒦}$ désigne l'image de $𝒦$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
-Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.
+\begin{proposition2}
+Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪)$.
+\end{proposition2}
-\begin{théorème2}
-\XXX
-Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
-\end{théorème2}
+Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
-☡ [probablement à déplacer]
+\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
+on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
+par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
+Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{𝒦}= 𝒦∖I¹_K/K^×$.
-\section{Théorèmes de finitude}
+Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
+un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
+d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.
-\subsection{Finitude du groupe de Picard}
+Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
+on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
+et $\Pic⁰(U)$ …
-\begin{theoreme2}
+\begin{théorème2}
\XXX
-Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
-\end{theoreme2}
+\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ I^1_K/K^×\]
+et
+\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / U.\]
+\end{théorème2}
\begin{démo}
+Énoncé dans Weil 2.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+$\Pic⁰_K$ est fini.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration directe dans le cas des corps de nombres]
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
@@ -399,9 +528,8 @@ Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
-
Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
-du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
+du lemme \ref{déterminant-norme}.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
@@ -429,95 +557,99 @@ appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
+\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
+
+\subsection{Transformée de Fourier}
+
+\subsubsection{$𝒮(A_K)$}
+
+\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}
+
\begin{théorème2}
-\XXX
-$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$.
+\begin{enumerate}
+\item $K ⥲ \chap{A_K / K}$.
+\item $A_K ⥲ \chap{A_K}$.
+\end{enumerate}
\end{théorème2}
+Corollaire : dualité de Pontrâgin dans ce cas.
+(Peut-être utiliser $A_K^∨$ pour dualité (cf. complétion). \XXX)
+
\begin{démo}
-Énoncé dans Weil 2.
+Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
\end{démo}
\begin{théorème2}
-Soit $K$ un corps de fonctions.
-Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
+\XXX
+Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
+\[
+∑_{x ∈ K} f(x)=μ(A_K/K)^{-1} ⋅ ∑_{x ∈ K} ℱ(f)(x).
+\]
\end{théorème2}
-\begin{démo}
-Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f)
-ou Weil [BNT] IV. th. 7.
-\end{démo}
+Cf. Goldstein, p. 150.
+☡ Tout le problème est dans le choix de $μ$ et de $ψ$.
+Pour un « bon » choix, on a $μ=1$.
+
-\subsection{Genre}
+\subsection{Théorème de Riemann-Roch}
+
+\subsection{Premières applications}
\begin{théorème2}
-$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
+Si l'on prend les mesures naturelles sur les corps locaux
+(anneaux d'entiers de volume $1$) et mesures usuelles sur $𝐑,𝐂$)
+alors le volume de $A_K \bo K$ est : $|𝔡_K|^½$ dans le cas des corps de nombres,
+$q^{g-1}$ dans le cas des corps de fonctions.
\end{théorème2}
-Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.
-
-\begin{définition2}
-$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
-\end{définition2}
-Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
-de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
-[À voir]
+\section{Fonctions zêta}
-\subsection{Fonction zêta de Dedekind}
+\subsection{Fonctions zêta de Dedekind}
\begin{définition2}
-\XXX
-
-Corps de nombres :
-\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
-\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
-(fonction zêta complétée) où
-$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
-
-Corps de fonctions :
\[
-ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
+ζ_K= ∏_{v ∤ ∞} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
\]
où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
-\[
-\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s)
-\]
\end{définition2}
-\begin{proposition2}
-$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
-\end{proposition2}
-
-\begin{exemple2}
-$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
-
+Si $K$ est un corps de nombre, $ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s}$.
-$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
-
-\end{exemple2}
+\begin{définition2}
+\begin{itemize}
+\item[nombres]
+\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
+où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
+\item[fonctions]
+\[\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s).\]
+\end{définition2}
-\begin{proposition2}
-Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
-Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
-\end{proposition2}
+\begin{exemples2}
+\begin{enumerate}
+\item $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+\item $ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
+\end{enumerate}
+\end{exemples2}
-\begin{démo}
-On se ramène au cas du corps de base.
-\end{démo}
+Objectif.
-Mieux :
\begin{théorème2}
-Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
+Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
+Prolongement méromorphe/fraction rationnelle en … si corps de
+fonctions. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$
+avec résidu en $1$=….
\end{théorème2}
Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
+Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
+base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.
-
-\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$]
-\XXX
+\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
+\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
@@ -525,10 +657,15 @@ $$
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
-\end{théorème2}
+\end{corollaire2}
-\begin{démo}
-\XXX
+Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
+le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
+Le lecteur pourra être intéressé par la démonstration relativement
+directe et élémentaire de ce fait, qui n'utilise aucune technique
+adélique ni analyse harmonique.
+
+\begin{démo}[Esquisse de démonstration directe du corollaire \ref{pôle simple en 1 cdn}]
Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
@@ -604,6 +741,46 @@ tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,
Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
\end{démo}
+\subsection{$ζ(s,χ,f)$}
+
+
+
+\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}
+
+
+\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}
+
+ \[⁂\]
+
+\begin{lemme2}
+\XXX
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
+$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
+Le morphisme
+$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+est de la forme
+$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
+\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
+Passer de la matrice ayant ces colonnes à
+$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
+La formule en résulte.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
+\end{théorème2}
+
+☡ [probablement à déplacer]
+
+
\begin{théorème2}
Cas d'un corps de fonctions :
\[
@@ -760,15 +937,6 @@ Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}
\end{proof}
-\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
-Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :
-
-$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14]
-\end{démo}
\section{Théorème de Minkowski et une application}
@@ -778,7 +946,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -804,7 +972,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -812,8 +980,8 @@ L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
-2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
@@ -827,8 +995,8 @@ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
-\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}