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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 13:51:07 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 13:51:07 (GMT)
commit26c6b84675b5123611deb6b94c2f930327362f9b (patch)
treec5ac8d8c9f6a85e76c641b89656b9b34329a93e6 /chapitres
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[Gröbner] Début d'une discussion (mais il faut que je revienne sur l'algèbre de décomposition universelle).
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex60
1 files changed, 51 insertions, 9 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 14762c7..5f4497c 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1418,6 +1418,19 @@ relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
\XXX
\end{proof}
+\begin{corollaire2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
+Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire. Si
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de décomposition universelle
+définie en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle},
+alors celle-ci est de dimension finie comme $k$-espace vectoriel
+(l'idéal $I$ est de dimension $0$).
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Ceci découle immédiatement de
+\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} appliqué à la base de
+Gröbner donnée par la proposition précédente.
+\end{proof}
+
\begin{exemple2}\label{exemple-algebre-de-decomposition-universelle-non-connexe}
Si $f = X^3 + X^2 -2 X -1$, la base de Gröbner donnée ci-dessus est
formée des trois relations : $q_3 = Z_1^3 + Z_1^2 - 2 Z_1 - 1$
@@ -1435,7 +1448,7 @@ les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$, est appelée \emph{algèbre de
\end{definition2}
-\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}
+\subsection{Idéaux radicaux de dimension $0$}\label{section-ideaux-radicaux-de-dimension-0}
On rappelle (\XXX) qu'un idéal $J$ d'un anneau $A$ est dit
\emph{radical} lorsque $x^n \in J$ implique $x \in J$ (quel que
@@ -1503,11 +1516,12 @@ en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors
celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical).
\end{proposition2}
\begin{proof}
-La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}
-assure que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme $f(Z_1)$,
-et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des
-$f(Z_j)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la proposition
-précédente, qui permet de conclure.
+La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} et
+sa conséquence \ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie}
+assurent que $I$ est de dimension $0$ et contient le polynôme
+$f(Z_1)$, et aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables,
+chacun des $f(Z_j)$. Ceci fournit précisément les hypothèses de la
+proposition précédente, qui permet de conclure.
\end{proof}
\begin{remarque2}
@@ -1573,7 +1587,7 @@ de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$).
\end{proof}
-\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}
+\subsection{Idéaux premiers de dimension $0$}\label{section-ideaux-premiers-de-dimension-0}
Il revient au même de dire d'un idéal $I$ de dimension $0$ de
$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ qu'il est premier ou qu'il est maximal (puisqu'une
@@ -1795,7 +1809,7 @@ Z_d)) \pmod{I}$ en divisant par $q(c_1,\ldots,c_d)$. C'est bien ce
qu'on voulait montrer.
\end{proof}
-\begin{algorithme2}
+\begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-premier-dimension-0}
Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait tester
l'irréductibilité des polynômes à une variable à coefficients
@@ -1879,7 +1893,7 @@ l'idéal $I + (g_i)$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on a $k[Y]/(h_i) \cong
k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h)
\cong \prod_i (k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i)$. Ceci prouve :
-\begin{algorithme2}
+\begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0}
Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser
les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver
@@ -1927,6 +1941,34 @@ revient exactement à calculer le groupe de Galois de $f$.
\end{exemple2}
+\subsection{Application au calcul d'un groupe de Galois}
+
+\subsubsection{} Plaçons-nous dans la situation suivante : $f \in
+k[X]$ est un polynôme unitaire séparable de degré $d$ sur un corps
+$k$, et $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ est son algèbre de décomposition
+universelle telle qu'introduite
+en \ref{section-algebre-de-decomposition-universelle}. On a vu en
+\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-finie} et
+\ref{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite} que cette
+algèbre est réduite de dimension $0$. Il s'agit donc (cf. les
+remarques initiales de \ref{section-ideaux-premiers-de-dimension-0})
+du produit des corps $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$ où les $J_i$ sont les
+idéaux maximaux contenant $I$, et on a vu
+en \ref{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0} comment
+calculer les $J_i$ (au moins dans le cas où $k$ est parfait et infini
+et où on sait factoriser les polynômes en une variable sur $k$).
+
+Si $J$ est un quelconque de ces idéaux maximaux contenant $I$, alors
+$K := k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est un corps engendré par $k$ et par les
+images de $Z_1,\ldots,Z_d$. Mais comme $I$, donc $J$, contient le
+polynôme $f(Z_1)$
+(d'après \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}), et
+aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des
+$f(Z_j)$, les images des $Z_j$ dans $K$ sont des racines du
+polynôme $f$. Mais de plus, ces images sont deux à deux distinctes
+dans $K$ car \XXX
+
+
\ifx\danslelivre\undefined