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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-26 17:59:18 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-26 17:59:18 +0100
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[Spec] Hom(A,B)=coprod prod Hom(connexe,connexe) : énoncé
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex145
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index c603914..b985442 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -579,8 +579,10 @@ le $k$-espace vectoriel $ℐ_E$ de sorte que l'on a l'inclusion $ℐ_Y⊆ℐ$ e
Le dernier point est évident.\end{démo}
\begin{remarque2}
-Lorsque $X$ est infini, le spectre de $k^X$ est en bijection avec
-le compactifié de Stone-Čech de l'espace topologique
+Lorsque $X$ est infini, le spectre de $k^X$ où $k$ est un corps
+(resp. l'ensemble des composantes connexes d'un produit indicé
+par $X$ d'anneaux connexes) est en bijection avec le compactifié
+de Stone-Čech de l'espace topologique
discret $X$, cf. \ref{ultrafiltres et produits infinis}.
% Cf. p. ex. Jardine, « Ultraproducts and the discrete cohomology of
% algebraic groups ».
@@ -618,7 +620,8 @@ où $e_x$ désigne l'idempotent de $A$ sont toutes les coordonnées
sont égales à un sauf celle indicée par $x$, nulle.
\end{corollaire2}
-Nous allons montrer que, réciproquement, tout anneau dont l'ensemble
+Nous allons montrer (\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}) que,
+réciproquement, tout anneau dont l'ensemble
des composantes connexes est fini est isomorphe à un produit d'anneaux
connexes. L'observation suivante est un premier pas important dans cette
direction.
@@ -662,36 +665,35 @@ s'il satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
\end{définition2}
\begin{démo}
-(i) ⇔ (ii) La décomposition en produit $A = A/eA × A/(1-e)A$
+(i) ⇔ (ii) La décomposition en produit $A = A/eA × A/(1-e)A$
induit un isomorphisme $\Idem(A) = \Idem(A/eA)×\Idem(A/(1-e)A)$,
envoyant l'élément $e$ sur l'élément $(0,1)$ du produit. Le
quotient $\Idem(A)/e$ est donc isomorphe à
$\Idem(A/eA)$. La conclusion résulte maintenant
de la définition de la connexité et de \ref{SpecBoole=HomF2}.
-(i) ⇔ (iii) Les anneaux $A/e$ et $A(1-e)$ sont isomorphes.
-(ii) ⇒ (iv) Supposons que $f$ se décompose dans $\Idem(A)$ en $f₁+f₂$.
-Si $f₁$ et $f₂$ sont orthogonaux, on a $e=1-f₁-f₂=(1-f₁)(1-f₂)$.
-Ainsi l'un des $f_i$ est égal à l'unité et l'autre, qui lui
-est orthogonal, est nul. [Je ne comprends plus pourquoi j'ai écrit ça
-\XXX] (iv) ⇒ (ii). Soit $g$ un idempotent de $Af$,
+(i) ⇔ (iii) Les anneaux $A/e$ et $A(1-e)$ sont isomorphes.
+(iv) ⇒ (iii). Soit $g$ un idempotent de $Af$,
donc de $A$. Les éléments $gf$ et $(1-g)f$ sont des idempotents
orthogonaux et on a l'égalité : $f=gf+(1-g)f$. Il résulte de
l'hypothèse que l'on a que $gf=0$ ou bien $(1-g)f=0$. Notons que
$gf=g$ : cela résulte du fait que $g$ appartient à $Af$ et
-de l'identité $(af)f=af²=af$. Ainsi, $g=0$ ou $g=f$. CQFD.
+de l'identité $(af)f=af²=af$. Ainsi, $g=0$ ou $g=f$.
+(iii) ⇒ (iv) Réciproquement, si $f=f₁+f₂$ avec $f₁f₂=0$,
+on vérifie immédiatement que les idempotents $f_i$ appartiennent à
+$Af$ ; ils appartiennent donc à l'ensemble $\{0,f\}=\Idem(Af)$. CQFD.
\end{démo}
Les deux propositions précédentes suggèrent le théorème suivant.
-\begin{théorème2}
+\begin{proposition2}
\label{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}
Soit $A$ un anneau tel que $π₀(A)$ soit \emph{fini}.
Pour chaque $𝔵 ∈ π₀(A)$, notons $𝔵A$ l'idéal de $A$ engendré
par $𝔵 ⊆ \Idem(A)$.
Le morphisme canonique
\[A → ∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A/𝔵A\]
-est un \emph{isomorphisme} et chaque quotient $A/𝔵A$ est \emph{connexe}.
-\end{théorème2}
+est un \emph{isomorphisme} et chaque quotient $A_𝔵=A/𝔵A$ est \emph{connexe}.
+\end{proposition2}
On peut montrer que les idéaux $𝔵A$ sont [à une racine près peut-être]
les idéaux $I$ de $A$ engendrés par des idempotents
@@ -720,56 +722,61 @@ et de ses éléments $∏_𝔵 e_𝔵$. On utilise ici le fait
que le produit dans $A$ coïncide avec le produit,
noté $⊠$, dans $\Idem(A)$.
-Connexité des quotients. Soient $𝔵 ∈ π₀(A)$ et $ε ∈ \Idem(A/𝔵A)$.
+Connexité des quotients. Soient $𝔵 ∈ π₀(A)$ et $ε ∈ \Idem(A_𝔵)$.
Choisissons un relèvement $a$ de $ε$ dans l'anneau $A$. Par hypothèse,
on a $a²=a+ ∑_{i=1}^n e_i α_i$ où $n$ est un entier, les $e_i$
dans $𝔵$ et les $α_i$ dans $A$. L'élément $e:=a × ∏_i (1-e_i)$
-est un idempotent de $A$ d'image $ε$ dans $A/𝔵A$.
+est un idempotent de $A$ d'image $ε$ dans $A_𝔵$.
L'idéal $𝔵$ de $\Idem(A)$ étant premier, il résulte de l'identité
$e(1-e)=0$ que soit $e$ appartient à $𝔵$ soit son complément
$1-e$ lui appartient. Dans le premier cas, $ε=0$ ;
dans le second, $ε=1$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{exercice2}
-Soit $A$ un anneau.
-\begin{enumerate}
-\item Montrer que si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie
-d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_i e_i=1$,
-le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
-La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
-(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
-\item Montrer que si $π₀(A)$ est fini, une telle famille
-d'idempotent existe. Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
-\end{enumerate}
+\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
-\end{exercice2}
+Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
+Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
+$π₀(f)=φ:Y → X$. Fixons $𝔶 ∈ Y$. Notons $𝔵$ son image par $φ$
+et $A_𝔵$ (resp. $B_𝔶$) le quotient $A/𝔵A$ (resp. $B/𝔶B$).
+Le morphisme composé $A → B ↠ B_𝔶$ se factorise
+à travers le quotient $A ↠ A_𝔵$ en un morphisme
+$f_𝔶:A_𝔵 → B_𝔶$. En effet, $𝔵=\Idem(A) ∩ f^{-1}(𝔶)$
+est contenu dans $f^{-1}(𝔶)$, lui-même contenu
+dans le noyau de $A → B ↠ B_𝔶$. [...]
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres
+ayant un nombre fini de composantes connexe, l'application
+\[
+\Hom_k(A,B) → ∐_{φ: π₀(B) → π₀(X)} ∏_{𝔶 ∈ π₀(B)} \Hom_k(A_{φ(𝔶)},B_𝔶)
+\]
+est une bijection.
+\end{proposition2}
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
-\begin{exercice2}
-Montrer qu'un anneau local est connexe.
-\end{exercice2}
+\begin{corollaire2}
+$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$.
+compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble. \XXX
+\end{corollaire2}
-\begin{exercice2}
-Montrer que l'anneau des suites de nombres rationnels
-constantes à partir d'un certain rang n'est pas
-un produit d'anneaux connexes.
-\XXX À vérifier ; cf. Gillman-Jerison.
-\end{exercice2}
+\begin{démo}
+cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+\end{démo}
-\begin{lemme2}\label{produit=somme}
-Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
+\begin{proposition2}\label{produit=somme}
+Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.
-Le morphisme canonique
+Le morphisme canonique
$$
∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B).
$$
déduit des applications $\Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)$ induites
par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
-\end{lemme2}
-\begin{démo}
Soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, l'élément dont la seule coordonnée non nulle
soit l'unité de $A_i$. Ces éléments sont idempotents, orthogonaux deux-à-deux
et de somme égale à l'unité. Si $φ:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres,
@@ -781,39 +788,47 @@ un puisque les $f_i$ ne peuvent être tous nuls. Finalement il existe un unique
$i∈I$ tel que $φ(e_i)=1$. Ainsi, $φ(x)=φ(∑_j xe_j)=φ(xe_i)$.
On en déduit immédiatement que $φ$ se factorise par l'application de
passage au quotient $B↠A_i$. Ceci suffit pour conclure.
-\end{démo}
-
-En d'autres termes, l'ensemble des points d'un
-produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre)
-est la réunion disjointes des points des facteurs.
-
-
-\begin{lemme2}
-$π₀(A)=\Spec(\Idem(A))$ etc.
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
-\XXX
\end{démo}
+Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}.
-\begin{lemme2}
-$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
-compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
-\end{démo}
+\begin{exercice2}
+Soit $A$ un anneau.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille \emph{finie}
+d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_i e_i=1$,
+le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
+La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
+(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
+\item Montrer qu'une telle famille existe si et seulement si $π₀(A)$ est fini.
+Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.
+\item Montrer que si $A$ est nœthérien, $π₀(A)$ est fini.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
-Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}.
+\begin{exercice2}
+Montrer qu'un anneau local est connexe.
+\end{exercice2}
\begin{exercice2}
-Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout
-idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que
-tout anneau nœthérien est isomorphe à un produit fini d'anneaux connexes.
+Soit $A$ l'anneau des suites de nombres rationnels
+constantes à partir d'un certain rang.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $A$ n'est pas
+un produit d'anneaux connexes. Indication : on pourra
+utiliser un argument de cardinalité.
+\item Montrer que tout idéal maximal de $A$
+est un ensemble de fonctions nulles en un point
+fixé ou bien au voisinage de l'infini. Etc.
+À développer [David], cf. Gillman-Jerison. \XXX
+\end{enumerate}
\end{exercice2}
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
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