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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 14:02:16 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 14:02:16 +0200
commit28b64bd244212e9bea3a71bdc0fb2eef4124ef00 (patch)
tree2e96658c1a195f84aa76f36f430c7409e5d6ea8c /chapitres
parent6a48a04c5648ee2f488c342082009b12df07b2b0 (diff)
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[calculs] Petit remaniement de la section sur les résolvantes suite à la capitulation précédente.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex40
1 files changed, 26 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index fa11e10..d76283a 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1162,7 +1162,7 @@ Le cas de la
question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} qui nous
intéressera particulièrement est celui où $L\bo K$ est séparable (donc
galoisienne). Dans ce cas, on a une réponse simple à la question :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{critere-polynomes-invariants-cas-separable}
Sous les conditions de la
question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants},
supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors
@@ -1284,21 +1284,26 @@ R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
\]
totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
-Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, et en supposant de
-plus que $f$ est séparable, si $\mathfrak{G}$ est un sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois $\Gal(L/K)$ de $f$ (vu
-comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la numérotation
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit la
-\emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$ comme
+Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, supposons de plus que
+$\mathfrak{G}$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ vérifiant la
+condition ($*$) de la
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} avec $H$
+remplacé par $\mathfrak{G}$ (dans le cas où $f$ est séparable, on
+rappelle, cf. \ref{critere-polynomes-invariants-cas-separable}, que
+cela signifie simplement que $\mathfrak{G}$ contient le groupe de
+Galois $\Gal(L/K)$ de $f$ vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$
+par la numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines). On
+définit alors la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement
+ à $P$} de $f$ comme
\[
R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
\]
où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
-stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
-$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ appartient, en fait, à $K[X]$.
+stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse sur
+$\mathfrak{G}$ assure ce polynôme $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ appartient,
+en fait, à $K[X]$.
\end{definition2}
Ces différentes notations ont bien un sens : par exemple, le fait que
@@ -1318,15 +1323,22 @@ $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant $\sigma_i$ par
$(-1)^i a_i$, et ceci démontre que $R_P(f) \in K[X]$ comme annoncé.
Le fait que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ soit à coefficients dans $K$ est
-clair puisqu'il est invariant par $\Gal(L/K)$ (en effet, $\Gal(L/K)$
-opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs de $R_P(f)$, et
-aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq \mathfrak{G}$, de
+clair en vertu de l'hypothèse effectuée : chacun de ses coefficients
+en $X$ est l'évaluation en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ d'un polynôme de
+$Z_1,\ldots,Z_d$ invariant par $\mathfrak{G}$ opérant sur ces
+indéterminées. (Répétons de nouveau que le cas intéressant est le cas
+galoisien, auquel cas on est en train d'affirmer que $\Gal(L/K)$ opère
+en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs de $R_P(f)$, et aussi,
+grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq \mathfrak{G}$, de
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
On pourrait définir de façon évidente une résolvante générale
$R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
-totalement symétrique dans les $Z_i$.
+totalement symétrique dans les $Z_i$ (et le problème serait de trouver
+une paramétrisation, sous une forme ou une autre, des polynômes
+invariants par $\mathfrak{G}$, qui tienne lieu des fonctions
+symétriques élémentaires).
\begin{exemples2}\label{exemples-resolvantes}
\begin{itemize}