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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:18:32 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-16 16:18:32 +0100
commit2bcb871debbbc1c1469d211b2498bf4c9ae009c2 (patch)
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--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -551,7 +551,7 @@ intéressante puisqu'elle coïncide exactement avec la notion d'élément
primitif d'un corps de rupture. Elle le devient un peu plus en raison
des observations suivantes :
-\begin{remarques2}
+\begin{remarques2}\label{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus}
Donné un polynôme $P \in k[X]$ unitaire irréductible et séparable, et
un polynôme $U \in k[X]$, on dispose d'un \emph{algorithme} permettant
de déterminer si $U$ définit une transformation de Tschirnhaus
@@ -559,7 +559,7 @@ sur $P$, et le cas échéant de calculer le polynôme transformé, dès
lors que les opérations arithmétiques et l'égalité dans $k$ sont
décidables. En effet, pour déterminer si $U$ définit une
transformation de Tschirnhaus, on peut par exemple écrire les
-coefficients des $n$ quantités $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg
+coefficients des $\deg P$ quantités $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg
P-1}$ sur la base évidente $1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) =
k[X]/(P)$ (ceci se fait en effectuant des divisions euclidiennes des
différentes puissances de $U$ par $P$), et chercher si la matrice
@@ -635,12 +635,15 @@ Tschirnhaus \emph{réciproque} de $U$.
Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
unitaire irréductible et séparable par une transformation de
Tschirnhaus définie par un polynôme $U$. Alors le corps de
-décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, et le
-groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
+décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, les racines
+de $Q$ dans ce corps sont les $U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines (deux à deux distinctes)
+de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui
+de $P$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines (deux à deux distinctes) de ce
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce
dernier dans $E$ (qui l'engendrent). Alors chacun des éléments
$U(\xi_i)$ est racine de $Q$ (car $k(\xi_i)$ est un corps de rupture
de $P$, donc isomorphe à $k[X]/(P)$, ce qui permet d'affirmer que $Q$
@@ -679,6 +682,73 @@ dernier coïncide avec le corps de décomposition, il s'agit du groupe
de Galois de $P$.
\end{remarques2}
+\begin{exemple2}\label{exemple-transformations-de-tschirnhaus-sur-quadratiques}
+Soit $P = X^2 + bX + c \in k[X]$ un polynôme quadratique sur un corps
+$k$ de caractéristique $\neq 2$, tel que le discriminant $\Delta = b^2
+- 4c$ de $P$ ne soit pas un carré dans $k$, de sorte que $P$ soit
+irréductible. Une transformation de Tschirnhaus sur $P$ est définie
+par un polynôme $U = \lambda x + \mu$, et la condition pour que $U$
+définisse bien une transformation de Tschirnhaus, compte tenu des
+remarques \ref{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus},
+est simplement : $\lambda \neq 0$. Lorsque c'est le cas, on calcule
+aisément que $U(x)^2 = \lambda(2\mu - b\lambda) x + (\mu^2 -
+c\lambda^2) \in k[X]/(P)$ (en notant comme d'habitude $x$ la classe
+de $X$) et donc que $U(x)$ est racine de $Q(Y) := Y^2 + (b\lambda -
+2\mu) Y + (c\lambda^2 - \mu^2)$ qui, compte tenu de son degré, est
+bien le polynôme minimal de $U(x)$, c'est-à-dire le transformé de $P$
+par la transformation de Tschirnhaus $U$. Le discriminant de $Q$ est
+$\lambda^2 (b^2-4c)$, c'est-à-dire celui de $P$ multiplié par un
+carré : ceci permet de dire que si le rapport des discriminants de $P$
+et $Q$ n'est pas un carré dans $k^\times$, alors $P$ et $Q$ ne sont
+pas reliés par une transformation de Tschirnhaus (ils ne sont pas
+« Tschirnhaus-équivalents » en anticipant sur la
+définition \ref{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}).
+Réciproquement, comme $P$ peut être transformé (en prenant $\lambda =
+1$ et $\mu = -\frac{b}{2}$) en $Y^2 - \frac{1}{4}(b^2-4c)$, deux
+polynômes quadratiques unitaires dont les discriminants sont en
+rapport carré peuvent être transformés l'un en l'autre par une
+transformation de Tschirnhaus (sont « Tschirnhaus-équivalents »).
+
+On peut aussi, dans ce contexte, chercher les transformations de
+Tschirnhaus transformant $P$ en lui-même : il s'agit de résoudre le
+système $b\lambda-2\mu = b$ et $c\lambda^2-\mu^2 = c$, dont on peut
+vérifier qu'il admet pour seules solutions l'identité $(\lambda,\mu) =
+(1,0)$ et l'unique autre transformation $(\lambda,\mu) =
+(\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$. Autrement dit, le
+groupe de Galois de $P$ est $\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}
+Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires irréductibles séparables de
+même degrés à coefficients dans un corps $k$, on dit qu'ils sont
+Tschirnhaus-équivalents lorsqu'il existe une transformation de
+Tschirnhaus sur $P$ le transformant en $Q$
+(cf. \ref{definition-transformation-de-tschirnhaus}), ou, de façon
+équivalente
+(cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture})
+de $Q$ le transformant en $P$.
+\end{definition2}
+
+\begin{remarque2}
+On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
+$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de
+décomposition (et même groupe de Galois). Il peut cependant se
+produire que deux polynômes (unitaires, irréductibles et séparables,
+de même degré) $P$ et $Q$ aient même corps de décomposition (et même
+groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
+Tschirnhaus-équivalents. À titre d'exemple, les polynômes $X^4 - 2$
+et $X^4 + 2$ sur $\QQ$ ont même corps de décomposition
+$\QQ(\sqrt{-1},\root4\of2)$, pourtant ils ne sont pas
+Tschirnhaus-équivalents puisque $\QQ[X]/(X^4-2)$ ne contient pas de
+racine de $X^4 + 2$ (en effet, on peut l'inclure dans $\RR$ en
+identifiant la classe de $X$ à $\root4\of2 \approx 1.189 \in \RR$, or
+le polynôme $X^4 + 2$ se décompose dans $\RR$ comme $(X^2 + \root4\of8
+X + \sqrt{2}) \, (X^2 - \root4\of8 X + \sqrt{2})$, et n'a pas de
+racine).
+
+\XXX --- Expliquer cet exemple en termes de théorie de Galois.
+\end{remarque2}
+
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du