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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 16:53:26 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-23 16:53:26 (GMT)
commit2d80f3b409b50f4f0e4672316d02d6aa2f6f185d (patch)
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[AC,AVD,modp,Dedekind] coquilles
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/AC.tex2
-rw-r--r--chapitres/AVD.tex40
-rw-r--r--chapitres/Cebotarev.tex50
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex42
4 files changed, 67 insertions, 67 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index 3aa018d..54d99fa 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1215,7 +1215,7 @@ Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
\begin{proposition2}
Lemme de Hensel.
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{proposition2}
Les conditions suivantes sont équivalentes :
diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
index 9c4f8f2..3e5ee9b 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
-\title{titre}
+\title{Anneaux de valuation discrète}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
@@ -34,11 +34,11 @@
\begin{document}
\begin{center}
-titre
+Anneaux de valuation discrète
\end{center}
\tableofcontents
\else
-\chapter{titre}
+\chapter{Anneaux de valuation discrète}
\fi
\section{}
@@ -71,7 +71,7 @@ La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
-\end{théorème}
+\end{théorème2}
\begin{définition2}
indice de ramification
@@ -120,30 +120,29 @@ fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
-\item $G_0\iso G$,
+\item $G_0⥲ G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application
-$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
+$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
-G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
+G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
- U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
- U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
+ U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\
+ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
-pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
+pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
\XXX
-\begin{proof}
-1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
+1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
@@ -180,15 +179,15 @@ $$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
-entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
+entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.
-4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
-un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
+4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit
+un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$.
Enfin,
$$
\begin{array}{l}
-U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
+U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
@@ -211,7 +210,7 @@ Sous les hypothèses précédentes :
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.
-Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
+Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
@@ -261,7 +260,7 @@ est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
-\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
\end{proposition2}
@@ -289,10 +288,11 @@ ex. Hasse, chap. 16.]
\begin{démo}
\XXX
-Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
+Soit $L$ une extension finie galoisienne de
+$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
-précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
+précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 5ff47b1..db08f13 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -115,7 +115,7 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
%Le lecteur prouvera dans l'exercice \ref{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
%que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
%$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
-%$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
+%$[-N,N]$ avec $N→ +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
%Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
%\end{rmr2}
@@ -126,18 +126,18 @@ dans $[-N,N]$ de groupe de Galois maximal tend vers un.
Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si
$$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
+\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\dessusdessous{s→ 1+}{\longrightarrow} \delta.
$$
\end{définition2}
On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
-\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
+\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
@@ -166,7 +166,7 @@ Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
comptés avec multiplicités.
Alors,
$$
-\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
+\sum_p n_p(F)p^{-s}\dessusdessous{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
\ \QQ[X] \big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
$$
@@ -184,19 +184,19 @@ supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et
de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
-L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
+L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un
idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est
au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise
$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.
Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
-$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
+$A_F↠ \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi,
$$
-Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
+Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et }
N(\wp)=p\}p^{-s},
$$
où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
@@ -206,14 +206,14 @@ $\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$,
on a
$$
-Z_F(s)=\sum_{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
+Z_F(s)=\sum_{\wp\in \Spec\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
$$
En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
de $d\zeta(2s)$.
En particulier,
le produit
$$
-\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
+\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \Spec(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
$$
est également convergeant pour $s>1$
@@ -228,13 +228,13 @@ $$
$$
Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ;
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près,
$\zeta_{A_F}$ coïncide
-avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
+avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
En particulier,
$$
-\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
+\log \zeta_{𝒪_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
$$
La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
@@ -298,19 +298,19 @@ Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombre
divisant $\Delta\Delta_S$.
Soit $p\notin \Sigma_S$ ; $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
-sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
+sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]→ \sur{𝐅_p}$
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
-Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
+Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à
une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est
-dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
+dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow
-\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
+(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in 𝐅_p &\Longleftrightarrow
+\Frob_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
\end{array}
@@ -389,10 +389,10 @@ $$
On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
$$
\begin{array}{ll}
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \dessusdessous{(\star)}{=}
\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
-\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
+\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \dessusdessous{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=}
\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
\end{array}
@@ -404,7 +404,7 @@ $$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
-quand $s\ra 1+$.
+quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
@@ -419,7 +419,7 @@ l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
+Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
@@ -440,15 +440,15 @@ du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en
\begin{corollaire2}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
-de racine dans $\FFp$.
+de racine dans $𝐅_p$.
\end{corollaire2}
On peut également montrer que cet ensemble a une densité $\geq \frac{1}{d}$,
cf. \cite{Jordan@Serre}.
\begin{proof}
-Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si,
-la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
+Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si,
+la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index 1c48351..767ef13 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -52,11 +52,11 @@ Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension
\begin{proposition2}
\XXX
Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
-et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$,
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$,
+$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
\end{proposition2}
@@ -102,7 +102,7 @@ Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
\begin{corollaire2}
Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
-\end{corolllaire2}
+\end{corollaire2}
Méthodes de calcul.
@@ -146,10 +146,10 @@ Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
\begin{démo}
\XXX
Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
-$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
-\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
+$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
+\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
Le morphisme
-$𝒪_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
+$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
@@ -196,7 +196,7 @@ un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
-car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
+car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
@@ -238,7 +238,7 @@ $$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
-soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
+soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}
\begin{démo}
@@ -288,7 +288,7 @@ Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
-\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
+\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}
@@ -298,17 +298,17 @@ Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC
et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
-que $\log:𝒪_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
+que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
-$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
-canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
+canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
[FIGURE]
Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
@@ -345,24 +345,24 @@ engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\XXX
On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
-Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
+Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
\end{proof}
-\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
-$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
+$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
-\end{thm}
+\end{théorème2}
\begin{proof}
\XXX
-\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
+\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
@@ -370,7 +370,7 @@ $$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
-\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
+\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
@@ -486,7 +486,7 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29.
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
-connexe alors $\ZZ\iso A$.
+connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{théorème2}
\begin{démo}