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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-16 18:50:07 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-16 18:50:07 +0100
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[calculs] Transformations de Tschirnhaus pour des polynômes (unitaires) quelconques.
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+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -510,68 +510,116 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
\subsection{Transformations de Tschirnhaus}
\begin{definition2}\label{definition-transformation-de-tschirnhaus}
-Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire irréductible et séparable à
-coefficients dans un corps $k$, dont on notera $k(x) = k[X]/(P)$ le
-corps de rupture (où $x$ désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de
-l'indéterminée $X$). On appelle \emph{transformation de Tschirnhaus}
-sur $P$ un élément primitif (i.e., de degré $\deg P$) de $k(x)$, qu'on
-représentera sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$ un polynôme
-(considéré modulo $P$) qui sera souvent par abus de langage identifié
-avec la transformation de Tschirnhaus. Le polynôme minimal de $U(x)$
-sur $k$ (dont le degré est, par hypothèse, le même que $P$) sera
-qualifié de polynôme obtenu à partir de $P$ par la transformation de
-Tschirnhaus définie par $U$.
+Soit $P \in k[X]$ un polynôme unitaire à coefficients dans un
+corps $k$ : on notera $k(x) = k[X]/(P)$ l'algèbre quotient, où $x$
+désigne la classe dans $k[X]/(P)$ de l'indéterminée $X$. On appelle
+\emph{transformation de Tschirnhaus} sur $P$ un élément $y$ de $k(x)$
+dont le polynôme minimal $Q$ sur $P$ soit du même degré que $P$ ---
+c'est-à-dire que les puissances $1,y,y^2,\ldots,y^{\deg P-1}$ forment
+une base de la $k$-algèbre $k(x)$ de dimension $\deg P$. On
+représentera la transformation sous la forme $U(x)$ avec $U \in k[X]$
+un polynôme (considéré modulo $P$) qui sera souvent par abus de
+langage identifié avec la transformation de Tschirnhaus elle-même.
+
+Le polynôme minimal $Q$ de $U(x)$ sur $k$ (dont le degré est, par
+hypothèse, le même que $P$) sera qualifié de polynôme obtenu à partir
+de $P$ par la transformation de Tschirnhaus définie par $U$, ou de
+polynôme \emph{transformé} de $P$ par la transformation $U$.
Si $U$ est une fraction rationnelle dont le dénominateur est premier
-avec $P$, on pourra aussi considérer $U$ comme définissant une
-transformation de Tschirnhaus sur $P$ comme l'élément $U(x)$ (à
-condition que celui-ci soit primitif).
+avec $P$, ce qui donne un sens à l'élément $U(x)$ de $k(x)$, on pourra
+aussi considérer $U$ comme représentant une transformation de
+Tschirnhaus sur $P$, à savoir celle définie par l'élément $y = U(x)$
+(à condition que son polynôme minimal soit de degré $\deg P$).
\end{definition2}
-\begin{exemples2}
-Soit $P = X^3 - 2 \in \QQ[X]$, dont on note $\root3\of2$ la racine
-dans le corps de rupture. Le polynôme $U = X+1$ définit une
-transformation de Tschirnhaus sur $P$ car $\root3\of2 + 1$ est encore
-de degré $3$ sur $\QQ$ : son polynôme minimal est $Q = (X-1)^3-2 = X^3
-- 3X^2 + 3X - 3$ (c'est donc le polynôme obtenu à partir de $P = X^3 -
-2$ par la transformation de Tschirnhaus définie par $U = X + 1$). Le
-polynôme $U = X^2$ définit lui aussi une transformation de Tschirnhaus
-sur $P$ : le polynôme minimal de $\root3\of4$ est $Q = X^3 - 4$, qui
-est donc le polynôme obtenu à partir de $P = X^3 - 2$ par la
-transformation de Tschirnhaus définie par $U = X^2$. La fraction
-rationnelle $U = \frac{1}{X}$ définit encore une transformation de
-Tschirnhaus sur $P$, qui transforme ce dernier en $Q = X^3 -
-\frac{1}{2}$. En revanche, le polynôme $X^3 + 1$ ne définit pas une
-transformation de Tschirnhaus sur $P$, car $(\root3\of2)^3 + 1 = 3 \in
-Q$.
+Le cas le plus important, qu'il faut avoir à l'esprit dans ce qui
+suit, est celui où $P$ est irréductible, auquel cas une transformation
+de Tschirnhaus sur $P$ équivaut à la donnée d'un élément primitif du
+corps de rupture $k(x)$ de $P$, c'est-à-dire un élément engendrant
+celui-ci (i.e., de degré $\deg P$).
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-transformations-de-tschirnhaus}
+\begin{itemize}
+\item Soit $P = X^3 - 2 \in \QQ[X]$, dont on note $\root3\of2$ la
+ racine dans le corps de rupture. Le polynôme $U = X+1$ définit une
+ transformation de Tschirnhaus sur $P$ car $\root3\of2 + 1$ est
+ encore de degré $3$ sur $\QQ$ : son polynôme minimal est $Q =
+ (X-1)^3-2 = X^3 - 3X^2 + 3X - 3$ (c'est donc le polynôme obtenu à
+ partir de $P = X^3 - 2$ par la transformation de Tschirnhaus définie
+ par $U = X + 1$). Le polynôme $U = X^2$ définit lui aussi une
+ transformation de Tschirnhaus sur $P$ : le polynôme minimal de
+ $\root3\of4$ est $Q = X^3 - 4$, qui est donc le polynôme obtenu à
+ partir de $P = X^3 - 2$ par la transformation de Tschirnhaus définie
+ par $U = X^2$. La fraction rationnelle $U = \frac{1}{X}$ définit
+ encore une transformation de Tschirnhaus sur $P$, qui transforme ce
+ dernier en $Q = X^3 - \frac{1}{2}$. En revanche, le polynôme $X^3 +
+ 1$ ne définit pas une transformation de Tschirnhaus sur $P$, car
+ $(\root3\of2)^3 + 1 = 3 \in Q$.
+\item Soit $P = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i) \in k[X]$ un polynôme unitaire
+ scindé et séparable de degré $d$ dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+ les racines deux à deux distinctes dans le corps $k$. Alors
+ l'algèbre quotient $k[X]/(P)$ est isomorphe au produit $k^d$ de $d$
+ copies du corps $k$ (l'isomorphisme envoyant un polynôme $U$
+ considéré modulo $P$ sur l'ensemble $(U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d))$ de
+ ses valeurs sur les $\xi_i$, cf. par exemple \refext{Spec}{lemme
+ chinois}) ; la condition traduisant le fait que $U$ définisse bien
+ une transformation de Tschirnhaus sur $P$ est la non annulation du
+ déterminant de Vandermonde défini par les
+ $U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$, c'est-à-dire simplement le fait que ces
+ valeurs soient deux à deux distinctes. Le polynôme transformé est
+ alors simplement $Q = \prod_{i=1}^d (X-U(\xi_i))$.
+\item Soit $P = X^d \in k[X]$, et considérons un polynôme $U(X) = c_0
+ + c_1 X + c_2 X^2 + \cdots + c_{d-1} X^{d-1}$. Demandons-nous à
+ quelle condition $U(X)$ définit une transformation de Tschirnhaus
+ sur $P$, c'est-à-dire à quelle condition les éléments $1, U(x),
+ U(x)^2, \ldots, U(x)^{d-1}$ de $k(x) = k[X]/(X^d)$ en forment une
+ base. Lorsque $c_0 = 0$, la condition est évidemment $c_1 \neq 0$
+ puisque si c'est le cas les polynômes $U(x)^i$ sont échelonnés en
+ degré et si ce n'est pas le cas les derniers d'entre eux sont nuls ;
+ et pour $c_0$ quelconque, on peut exprimer les polynômes $1,
+ U(x)-c_0, (U(x)-c_0)^2, \ldots$ en fonction de $1, U(x), U(x)^2,
+ \ldots$ par un système triangulaire de diagonale $1$, donc la
+ condition $c_1 \neq 0$ est encore la bonne. L'élément $y = U(x) \in
+ k(x)$ vérifie manifestement $(y-c_0)^d = 0$ donc, lorsque $U$ est
+ bien une transformation de Tschirnhaus (i.e., $c_1 \neq 0$ comme on
+ vient de le voir), ce polynôme $Q(Y) := (Y-c_0)^d$ est le polynôme
+ minimal de $y$, c'est-à-dire le polynôme obtenu à partir de $P$ par
+ la transformation $U$.
+\end{itemize}
\end{exemples2}
La notion de transformation de Tschirnhaus est en elle-même peu
-intéressante puisqu'elle coïncide exactement avec la notion d'élément
-primitif d'un corps de rupture. Elle le devient un peu plus en raison
-des observations suivantes :
+intéressante puisque pour un polynôme irréductible elle coïncide
+exactement avec la notion d'élément primitif d'un corps de rupture.
+Elle le devient un peu plus en raison des observations suivantes :
\begin{remarques2}\label{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus}
-Donné un polynôme $P \in k[X]$ unitaire irréductible et séparable, et
-un polynôme $U \in k[X]$, on dispose d'un \emph{algorithme} permettant
-de déterminer si $U$ définit une transformation de Tschirnhaus
-sur $P$, et le cas échéant de calculer le polynôme transformé, dès
-lors que les opérations arithmétiques et l'égalité dans $k$ sont
-décidables. En effet, pour déterminer si $U$ définit une
-transformation de Tschirnhaus, on peut par exemple écrire les
-coefficients des $\deg P$ quantités $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg
- P-1}$ sur la base évidente $1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) =
-k[X]/(P)$ (ceci se fait en effectuant des divisions euclidiennes des
-différentes puissances de $U$ par $P$), et chercher si la matrice
-ainsi définie est inversible, ce qui revient à calculer un
-déterminant ; si c'est le cas, le polynôme minimal $Q$ de cette
-matrice, qui est alors égal à son polynôme caractéristique puisque les
-deux sont de même degré $\deg P$ (et il peut donc se calculer lui-même
-comme un déterminant) constitue le polynôme transformé : de façon
-équivalente, on peut l'obtenir en exprimant $U(x)^{\deg P} \in k(x)$
-sur la base $1, U(x), U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ (le polynôme
-$Q$ est alors le polynôme unitaire de degré $\deg P$ dont l'annulation
-en $U(x)$ exprime cette relation).
+Donné un polynôme $P \in k[X]$ unitaire, et un polynôme $U \in k[X]$,
+on dispose d'un \emph{algorithme} permettant de déterminer si $U$
+définit une transformation de Tschirnhaus sur $P$, et le cas échéant
+de calculer le polynôme transformé, dès lors que les opérations
+arithmétiques et l'égalité dans $k$ sont décidables. En effet, pour
+déterminer si $U$ définit une transformation de Tschirnhaus, on peut
+par exemple écrire les coefficients des $\deg P$ quantités $1, U(x),
+U(x)^2, \ldots, U(x)^{\deg P-1}$ sur la base évidente
+$1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) = k[X]/(P)$ (ceci se fait en
+effectuant des divisions euclidiennes des différentes puissances
+de $U$ par $P$), et chercher si la matrice ainsi définie est
+inversible, ce qui revient à calculer un déterminant ; si c'est le
+cas, on peut obtenir le polynôme $Q$ transformé de $P$ par $U$ en
+exprimant $U(x)^{\deg P} \in k(x)$ sur la base $1, U(x), U(x)^2,
+\ldots, U(x)^{\deg P-1}$ (le polynôme $Q$ est alors le polynôme
+unitaire de degré $\deg P$ dont l'annulation en $U(x)$ exprime cette
+relation).
+
+Si l'on préfère, on peut exprimer la matrice, toujours sur la base
+$1,x,x^2,\ldots,x^{\deg P-1}$ de $k(x) = k[X]/(P)$ qui représente la
+multiplication par $U$ dans $k(x)$. La condition pour que $U$ soit
+une transformation de Tschirnhaus est alors que le polynôme minimal de
+cette matrice coïncide avec son polynôme caractéristique, et lorsque
+c'est le cas, le polynôme en question (de degré $\deg P$) est le
+polynôme $Q$.
D'autres présentations, équivalentes en théorie mais éventuellement
différentes en complexité algorithmique, sont aussi possibles : par
@@ -582,21 +630,35 @@ Tschirnhaus se traduit par le fait que le résultant en question soit
séparable), ce qui permet de remplacer les déterminants par des
résultants et d'utiliser des techniques spécifiques à eux comme
l'algorithme du sous-résultant.
+
+Remarquons en tout cas que, donné un polynôme $P$ unitaire de
+degré $d$ et un polynôme $U$, la condition pour que $U$ définisse une
+transformation de Tschirnhaus sur $P$, et le polynôme $Q$ transformé
+ne dépendent pas du corps choisi contenant les coefficients de $P$ et
+de $U$. Ainsi, lorsque $P$ est séparable, on peut penser à la
+transformation de Tschirnhaus comme dans le deuxième exemple
+de \ref{exemples-transformations-de-tschirnhaus} : si $E$ est un corps
+contenant les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $P$ (deux à deux
+distinctes), alors $Q$ vaut $\prod_{i=1}^d (X-U(\xi_i))$ (comparer
+avec \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} ci-dessous).
\end{remarques2}
+Soulignons que si $U$ est une transformation de Tschirnhaus sur $P$ et
+$Q$ le polynôme transformé, on a $Q \circ U \equiv 0 \pmod P$ (ceci
+signifie exactement $Q(U(x)) = 0 \in k[X]/(P)$).
+
\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
-Soient $P \in k[X]$ et $Q \in k[Y]$ deux polynômes unitaires
-irréductibles et séparables, de même degré : on notera $k[X]/(P)$ et
-$k[Y]/(Q)$ leurs corps de rupture et $x,y$ les classes des
-indéterminées $X,Y$ dans ceux-ci respectivement.
+Soient $P \in k[X]$ et $Q \in k[Y]$ deux polynômes unitaires de même
+degré : on notera $k[X]/(P)$ et $k[Y]/(Q)$ les algèbres quotient et
+$x,y$ les classes des indéterminées $X,Y$ dans ceux-ci respectivement.
Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus $U$ transformant
$P$ en $Q$ équivaut à la donnée d'un isomorphisme $k[Y]/(Q) \to
-k[X]/(P)$ des corps de ruptures (en tant que $k$-algèbres),
-l'isomorphisme étant donné à partir de la transformation $U$ par $A(y)
-\mapsto A(U(x))$, et réciproquement $U$ étant déterminé (modulo $P$) à
-partir de l'isomorphisme $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ comme l'image de la
-classe $y$ de $Y$ par celui-ci.
+k[X]/(P)$ (en tant que $k$-algèbres), l'isomorphisme étant donné à
+partir de la transformation $U$ par $A(y) \mapsto A(U(x))$, et
+réciproquement $U$ étant déterminé (modulo $P$) à partir de
+l'isomorphisme $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ comme l'image de la classe $y$
+de $Y$ par celui-ci.
En particulier, donnée une transformation de Tschirnhaus $U \in k[X]$
transformant $P$ en $Q$, il existe (modulo $Q$) un unique polynôme $V
@@ -613,17 +675,18 @@ polynôme $U \circ V$ est congru à $Y$ modulo $Q$.
À cause des propriétés catégoriques (universelles) des anneaux de
polynômes et anneaux quotients, la donnée d'un morphisme de
$k$-algèbres $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ est exactement équivalente à la
-donnée de l'image $\theta$ de $y$ par celui-ci, qui doit être racine
-de $Q$ dans $k[X]/(P)$, l'image d'un élément $A(y)$ quelconque de
-$k[Y]/(Q)$ étant alors $A(\theta)$. Dire que le morphisme en question
-est un isomorphisme (c'est-à-dire, qu'il est injectif ou, de façon
+donnée de l'image $z$ de $y$ par celui-ci, qui doit vérifier $Q(z) =
+0$ dans $k[X]/(P)$, l'image d'un élément $A(y)$ quelconque de
+$k[Y]/(Q)$ étant alors $A(z)$. Dire que le morphisme en question est
+un isomorphisme (c'est-à-dire, qu'il est injectif ou, de façon
équivalente, surjectif) signifie que tout élément de $k[X]/(P)$ est
-polynôme en $\theta$, c'est-à-dire que $\theta$ est primitif, donc
-définisse une transformation de Tschirnhaus (sous la forme $\theta =
-U(x)$). Ceci équivaut aussi au fait que $x$ puisse s'écrire sous la
-forme $V(\theta)$, c'est-à-dire qu'on puisse trouver $V$ tel que
-$V(U(x))=x$. Les différentes affirmations de la propositions sont
-alors toutes claires.
+polynôme en $z$ (les $1,z,z^2,\ldots$ engendrent $k[X]/(P)$ comme
+$k$-espace vectoriel, donc en fait les $1,z,z^2,\ldots,z^{\deg Q-1}$
+l'engendrent), donc définisse une transformation de Tschirnhaus (sous
+la forme $z = U(x)$). Ceci équivaut aussi au fait que le seul élément
+$x$ puisse s'écrire sous la forme $V(z)$, c'est-à-dire qu'on puisse
+trouver $V$ tel que $V(U(x))=x$. Les différentes affirmations de la
+propositions sont alors toutes claires.
\end{proof}
La transformation de Tschirnhaus $V$ de $Q$ en $P$ définie par la
@@ -631,25 +694,42 @@ proposition précédente à partir d'une transformation de
Tschirnhaus $U$ de $P$ en $Q$ s'appelle la transformation de
Tschirnhaus \emph{réciproque} de $U$.
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit}
+Soient $P_1,P_2 \in k[X]$ deux polynômes unitaires premiers entre eux,
+et $P = P_1 P_2$. Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus
+$U$ de $P$ équivaut à la donnée de transformations de Tschirnhaus
+$U_1,U_2$ de $P_1,P_2$ respectivement telles que les polynômes
+transformés $Q_1,Q_2$ respectivement soient premiers entre eux, le
+polynome $U$ étant alors congru à $U_i$ modulo $P_i$ (pour $i=1,2$).
+Et dans ces conditions, le polynôme transformé $Q$ de $P$ par $U$
+vaut $Q_1 Q_2$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après le théorème chinois (cf. par exemple \refext{Spec}{lemme
+ chinois}), $k[X]/(P)$ est isomorphe à $(k[X]/(P_1)) \times
+(k[X]/(P_2))$. En notant $x_1,x_2$ les classes de $X$
+modulo $P_1,P_2$ respectivement, l'élément $(U_1(x_1),U_2(x_2))$
+engendre le produit en tant qu'algèbre si et seulement si $U_1(x_1)$
+et $U_2(x_2)$ engendrent chacun des facteurs et que leurs polynômes
+minimaux $Q_1,Q_2$ sont premiers entre eux.
+\end{proof}
+
\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}
Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
-unitaire irréductible et séparable par une transformation de
-Tschirnhaus définie par un polynôme $U$. Alors le corps de
-décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, les racines
-de $Q$ dans ce corps sont les $U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines (deux à deux distinctes)
-de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui
-de $P$.
+unitaire séparable par une transformation de Tschirnhaus définie par
+un polynôme $U$. Alors le corps de décomposition de $Q$ sur $k$ est
+isomorphe à celui de $P$, les racines de $Q$ dans ce corps sont les
+$U(\xi_1),\ldots,U(\xi_d)$ où $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines
+(deux à deux distinctes) de $P$ ; et le groupe de Galois de $Q$
+sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
-$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce
-dernier dans $E$ (qui l'engendrent). Alors chacun des éléments
-$U(\xi_i)$ est racine de $Q$ (car $k(\xi_i)$ est un corps de rupture
-de $P$, donc isomorphe à $k[X]/(P)$, ce qui permet d'affirmer que $Q$
-est bien le polynôme minimal de $U(\xi_i)$). En introduisant $V$ la
-transformation de Tschirnhaus réciproque de $U$, on a $V(U(\xi_i)) =
-\xi_i$ pour chaque $i$ puisque $V\circ U$ est congru à $X$
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de ce dernier dans $E$ (qui
+l'engendrent). Alors chacun des éléments $U(\xi_i)$ est racine de $Q$
+(puisque $Q\circ U$ est congru à $0$ modulo $P$). En introduisant $V$
+la transformation de Tschirnhaus réciproque de $U$, on a $V(U(\xi_i))
+= \xi_i$ pour chaque $i$ puisque $V\circ U$ est congru à $X$
modulo $P$ : ceci permet d'affirmer que les racines $U(\xi_i)$ de $Q$
sont deux à deux distinctes, donc que $E$, qui les contient, scinde le
polynôme $Q$, et comme les $U(\xi_i)$ engendrent les $\xi_i$ (on vient
@@ -677,18 +757,18 @@ transformant un polynôme $P$ sur \emph{lui-même}, alors on a bien
affaire à un groupe, et la
proposition \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
montre qu'il s'agit d'un groupe bien familier, à savoir celui des
-automorphismes du corps de rupture $k[X]/(P)$ de $P$ ; lorsque ce
-dernier coïncide avec le corps de décomposition, il s'agit du groupe
-de Galois de $P$.
+automorphismes de l'algèbre quotient $k[X]/(P)$ de $P$ ; lorsque $P$
+est un polynôme irréductible séparable dont le corps de rupture
+$k[X]/(P)$ coïncide avec le corps de décomposition, il s'agit du
+groupe de Galois de $P$.
\end{remarques2}
\begin{exemple2}\label{exemple-transformations-de-tschirnhaus-sur-quadratiques}
Soit $P = X^2 + bX + c \in k[X]$ un polynôme quadratique sur un corps
-$k$ de caractéristique $\neq 2$, tel que le discriminant $\Delta = b^2
-- 4c$ de $P$ ne soit pas un carré dans $k$, de sorte que $P$ soit
-irréductible. Une transformation de Tschirnhaus sur $P$ est définie
-par un polynôme $U = \lambda x + \mu$, et la condition pour que $U$
-définisse bien une transformation de Tschirnhaus, compte tenu des
+$k$ de caractéristique $\neq 2$. Une transformation de Tschirnhaus
+sur $P$ est décrite par un polynôme $U = \lambda x + \mu$, et la
+condition pour que $U$ définisse bien une transformation de
+Tschirnhaus, compte tenu des
remarques \ref{remarques-reconnaitre-transformation-de-tschirnhaus},
est simplement : $\lambda \neq 0$. Lorsque c'est le cas, on calcule
aisément que $U(x)^2 = \lambda(2\mu - b\lambda) x + (\mu^2 -
@@ -712,17 +792,21 @@ transformation de Tschirnhaus (sont « Tschirnhaus-équivalents »).
On peut aussi, dans ce contexte, chercher les transformations de
Tschirnhaus transformant $P$ en lui-même : il s'agit de résoudre le
système $b\lambda-2\mu = b$ et $c\lambda^2-\mu^2 = c$, dont on peut
-vérifier qu'il admet pour seules solutions l'identité $(\lambda,\mu) =
-(1,0)$ et l'unique autre transformation $(\lambda,\mu) =
-(\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$. Autrement dit, le
-groupe de Galois de $P$ est $\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà.
+vérifier que si $b^2-4c\neq 0$ il admet pour seules solutions
+l'identité $(\lambda,\mu) = (1,0)$ et l'unique autre transformation
+$(\lambda,\mu) = (\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$.
+Autrement dit, si $P$ est irréductible, son groupe de Galois est
+$\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà. (Lorsque $b^2-4c = 0$, en
+revanche, les transformations de Tschirnhausen de $P$ en $P$ sont tous
+les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
+revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
\begin{definition2}\label{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}
-Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires irréductibles séparables de
-même degrés à coefficients dans un corps $k$, on dit qu'ils sont
-Tschirnhaus-équivalents lorsqu'il existe une transformation de
-Tschirnhaus sur $P$ le transformant en $Q$
+Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires de même degrés à coefficients
+dans un corps $k$, on dit qu'ils sont Tschirnhaus-équivalents
+lorsqu'il existe une transformation de Tschirnhaus sur $P$ le
+transformant en $Q$
(cf. \ref{definition-transformation-de-tschirnhaus}), ou, de façon
équivalente
(cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture})
@@ -733,9 +817,9 @@ de $Q$ le transformant en $P$.
On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de
décomposition (et même groupe de Galois). Il peut cependant se
-produire que deux polynômes (unitaires, irréductibles et séparables,
-de même degré) $P$ et $Q$ aient même corps de décomposition (et même
-groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
+produire que deux polynômes unitaires de même degré $P$ et $Q$, même
+irréductibles et séparables, aient même corps de décomposition (et
+même groupe de Galois) sans pour autant qu'ils soient
Tschirnhaus-équivalents. À titre d'exemple, les polynômes $X^4 - 2$
et $X^4 + 2$ sur $\QQ$ ont même corps de décomposition
$\QQ(\sqrt{-1},\root4\of2)$, pourtant ils ne sont pas