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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-12 14:13:13 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-12 14:13:13 +0100 |
commit | 2f9fdd1a60dfe6adcd40d2d803b8dd910ef8ac72 (patch) | |
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[Ent] définition décomposition/inertie déplacée
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-rw-r--r-- | chapitres/entiers.tex | 36 |
1 files changed, 6 insertions, 30 deletions
diff --git a/chapitres/entiers.tex b/chapitres/entiers.tex index 2f182e4..8308806 100644 --- a/chapitres/entiers.tex +++ b/chapitres/entiers.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} \usetikzlibrary{calc} - +\synctex=1 % À faire : % — changer la profondeur de la numérotation par endroit @@ -706,39 +706,14 @@ n'est pas pas injective. \XXX. \end{exercice2} -\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$ -sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$} - -\begin{définition2} -Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par -automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on -note respectivement $D(𝔮)$ et $I(𝔮)$ les sous-groupes -\[ -\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\}, -\] -et -\[ -\{g∈G:g(𝔮)=𝔮,\,∀x∈B,\,g(x)≡x\mod\,𝔮\} -\] -de $G$. -Le groupe $D(𝔮)$ est appelé \emph{groupe de -décomposition}\footnote{Parfois noté $Z$ pour « Zerlegung ».} \index{groupe -de décomposition} en $𝔮$ et son sous-groupe distingué $I(𝔮)$ -est le \emph{groupe d'inertie}\footnote{Parfois noté $T$ pour -« Trägheit ».}\index{groupe d'inertie} en $𝔮$. -\end{définition2} - -Par construction, le sous-groupe $D(𝔮)$ de $G$ agit sur le quotient $B/𝔮$ ainsi -que sur son corps des fractions $κ(𝔮)=\Frac(B/𝔮)$. Le groupe d'inertie est le -noyau du morphisme $D(𝔮)→\Aut(κ(𝔮))$. - -Nous allons bientôt caractérister l'image de ce morphisme. +\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$ +sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient} \begin{théorème2} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux -premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier +premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier $𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$. \end{théorème2} @@ -780,7 +755,8 @@ $x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde. \begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et -$I(𝔮)$ ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si +$I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie} +ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si $g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison de sous-groupes. |