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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 13:43:34 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 13:43:34 +0100
commit302517797172f96269782387f86b96a613e3341c (patch)
treecd35a4828876c47528b007a3cbfba360655e83f7 /chapitres
parent5747123814cdcd81bb3826e8e706a580a7adbfef (diff)
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[calculs] Description de l'action d'un produit en couronne tordu : remaniement pour la rendre plus compréhensible.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex35
1 files changed, 19 insertions, 16 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index d67eb50..df7d351 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1559,22 +1559,25 @@ S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie
$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) =
f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$).
-L'action considérée pour $G$ sera celle sur les classes à gauche
-de $S$ : il revient au même de faire agir $G$ sur $\mathscr{F}$ en
-décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on l'a déjà dit et que
-$\mathscr{F}$ lui-même opère par translation à gauche. (Dans le cas
-d'un produit en couronne non-tordu, ceci correspond à l'action produit
-où $K$ est vu comme opérant sur lui-même par translation à gauche ; il
-y aurait sans doute moyen de définir une action généralisant l'action
-produit dans tous les cas, mais ceci ne nous importera pas.) Cette
-action peut très bien ne pas être fidèle : penser au cas où $U=S$ et
-$\varphi$ est trivial, par exemple (auquel cas $G$ est le produit
-direct $K \times S$) ; il ne semble pas facile de trouver des
-conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour que
-l'action qu'on vient de décrire soit fidèle et primitive : on peut
-néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est simple fini non-abélien
-et que $\Im\varphi$ contient les automorphismes intérieurs de $K$ et
-n'est pas l'image de $S$ par un morphisme.
+Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur
+$\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on
+l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à
+gauche. (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci
+correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même
+par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une
+action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne
+nous intéressera pas.) Le stabilisateur pour cette action de la
+fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$,
+ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les
+classes à gauche de $S$ dans $G$. Cette action peut très bien ne pas
+être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par
+exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne
+semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes
+sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle
+et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est
+simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les
+automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un
+morphisme.
\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}