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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-07 21:23:42 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-07 21:23:42 +0100
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[Alg] améliorations mineures suite à relecture en diagonale
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-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex188
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index 39b017c..0d51922 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -13,8 +13,7 @@
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
+\usetikzlibrary{matrix,arrows,calc}
%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
@@ -262,18 +261,19 @@ naturellement en bijection.
Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$.
On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b)
une description explicite des idéaux de $A$ : ils
-sont en bijection naturelle avec $𝔓(π₀(A))$ et le quotient de $A$
-par l'idéal correspondant à la partie $Y ⊆ π₀(A)$ par la
-bijection de \emph{loc. cit.} est isomorphe à
-l'algèbre diagonale $k^Y$. Le fait qu'une algèbre $B$ quotient
-de $A$ soit diagonalisable peut également se vérifier de la façon suivante.
+sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(π₀(A))$
+des parties de $π₀(A)$. D'autre part, le quotient de $A$
+par l'idéal correspondant par cette bijection
+à une partie $Y ⊆ π₀(A)$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$.
+Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient
+de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante.
D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut
supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie \emph{connexe},
car un quotient d'un quotient est un quotient et un produit fini
d'algèbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous
cette hypothèse de connexité, il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} (i) que
-la surjection $A=k^X→B$ se factorise à travers un morphisme
-de projection $A↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme
+le morphisme $A → B$ se factorise à travers un morphisme
+de projection $k^X ↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme
induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.
@@ -283,13 +283,24 @@ de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japm
Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
-D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}:k^{\japmath{田}B(k)} → k^{\japmath{田}A(k)}$
-étant injectif, l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
-est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
-l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes sur les fibres de $\japmath{田}f$.
-Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
-Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
-sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\};
+\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
+\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
+\draw[right hook->] (B) -- (A);
+\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif,
+l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
+est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
+l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes
+sur les fibres de $\japmath{田}f$.
+Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
+Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
+sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.
Résumons les résultats obtenus.
@@ -598,17 +609,17 @@ où $(i,j)$ parcourt $\{1,\dots,n\}×\{1,\dots,m\}$.
On remarquera qu'en particulier $[K:k]$ \emph{divise} $[L:k]$.
\begin{corollaire2}\label{entiers sur corps=sous-corps}
-Soit $K\bo k$ une extension.
-L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$.
+Soit $K\bo k$ une extension.
+L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$.
\end{corollaire2}
On l'appelle parfois \emph{clôture algébrique de $k$ dans $K$}.
\begin{démo}
-En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions
+En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions
$k(x)\bo k$ et $k(x)(y) \bo k(x)$ sont finies.
Pour la seconde extension, cela résulte du fait que
-$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps
+$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps
$k(x)$ de $K$. D'après la proposition précédente,
l'extension $k(x)(y)\bo k$ est finie. Or, le corps $k(x)(y)$
contient $x$ et $y$ de sorte que $xy$, $x+y$ et, lorsque $x$ est non nul, $x^{-1}$,
@@ -854,10 +865,11 @@ Le morphisme d'évaluation en $x$
est une bijection.
\end{lemme2}
-C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}.
+La démonstration est immédiate.
+
+%C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}.
-Observons que si $f$ est non nul,
-$k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}.
+Observons que si $f$ est non nul, $k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{proposition2}\label{corps-de-rupture}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant.
@@ -1439,6 +1451,9 @@ diagonalisable ;
\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
+De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
+par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
+$u(A) ⊆ K$.
\end{proposition2}
Remarquons que dans (i), on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ algébrique.
@@ -1464,13 +1479,13 @@ et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
-%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
+%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
-(iii) ⇔ (iv) et (iii) ⇔ (v) : résultent de \ref{critere-numerique-diagonalisable}.
+(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
+(iii) ⇔ (v) : résulte de \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}
-
\subsection{Algèbres monogènes ; polynômes et extensions algébriques séparables}
%[Vérifier si des conditions $f$ non nul/constant n'ont pas été
@@ -1506,8 +1521,7 @@ on obtient une décomposition :
\[
k_f ⥲ ∏_{i=1}^r k_{P_i^{n_i}},
\]
-qui est un cas particulier explicite de \ref{structure-algebres-finies}.
-On en tire sans difficulté le lemme suivant.
+qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii).
\begin{lemme2}\label{structure k-f}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
@@ -1635,17 +1649,25 @@ si $p=0$.)
\subsection{Algèbres géométriquement réduites}
\begin{proposition2}
-Conditions équivalentes \XXX :
+Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est
-\emph{réduit} ;
-\item $A_Ω$ est réduite ;
-\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A →
-Ω$.
+\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ;
+\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
+%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-\XXX
+(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
+$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
+injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors
+le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit.
+(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
+purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément
+appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
+$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
+finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
+il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure.
% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
\end{démo}
@@ -1694,7 +1716,7 @@ sur $k$ est géométriquement réduite.
\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau}, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module.
-On appelle \emph{$k$-dérivation} de $A$ dans $M$ toute application
+On appelle \emph{$k$-dérivation}\index{dérivation} de $A$ dans $M$ toute application
\emph{$k$-linéaire} $d:A→M$ satisfaisant la règle de Leibniz :
$$
d(ab)=ad(b)+bd(a),
@@ -1707,7 +1729,7 @@ La $k$-linéarité entraîne que $d(λ)=0$ pour tout $λ∈k$.
\begin{définition2}
Soit $k$ un \emph{anneau}. Une $k$-algèbre $A$ est dite
-\emph{formellement nette} si pour tout
+\emph{formellement nette}\index{formellement nette, algèbre} si pour tout
$A$-module $M$, l'ensemble $\Der_k(A,M)=0$.
\end{définition2}
@@ -1724,26 +1746,30 @@ le morphisme composé $d∘φ$ est une $k$-dérivation de $A$ dans $M_{[A]}$.
Si $φ$ est surjectif, l'égalité $d ∘ φ=0$ entraîne l'égalité
$d=0$. En d'autres termes, nous avons démontré le lemme suivant.
-\begin{lemme2}\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes}
+\begin{lemme2}
+\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes}
Soient $A → B$ un morphisme surjectif de $k$-algèbres
et $M$ un $B$-module.
Le morphisme $\Der_k(B,M)→\Der_k(A,M_{[A]})$ est \emph{injectif}.
\end{lemme2}
-\begin{corollaire2}\label{quotient formellement net=formellement net}
+\begin{corollaire2}
+\label{quotient formellement net=formellement net}
Si $A$ est une $k$-algèbre formellement nette, il
en est de même de ses quotients.
\end{corollaire2}
En particulier, tout morphisme surjectif $k ↠ A$ est formellement net.
-\begin{exemple2}[Algèbre des nombres « duaux »]\label{nombres duaux pas nets}
-Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ n'est \emph{pas}
-formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$
+\begin{exemple2}%[Algèbre des nombres « duaux »]
+\label{nombres duaux pas nets}
+Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ des « nombres duaux »
+n'est \emph{pas} formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$
est une $k$-dérivation non triviale.
\end{exemple2}
-\begin{lemme2}[Extension des scalaires]\label{cb-nets}
+\begin{lemme2}%[Extension des scalaires]
+\label{cb-nets}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre formellement nette.
Pour toute $k$-algèbre $k'$, l'algèbre $A_{k'}=A ⊗_k k ′$ est formellement
nette sur $k'$.
@@ -1765,7 +1791,8 @@ La démonstration ci-dessus est valable pour $k$ un anneau
quelconque, si $A_{k'}=A⊗_k k'$ est pris au sens
de \refext{Tens}{}.
-\begin{lemme2}[Transitivité]\label{composes-nets}
+\begin{lemme2}%[Transitivité]
+\label{composes-nets}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $k → A$, $A → B$ deux morphismes
formellement nets. Le morphisme composé $k → B$ est formellement net.
\end{lemme2}
@@ -1777,7 +1804,8 @@ est nul par hypothèse. Ainsi $d(A)=\{0\}$ : la dérivation est $A$-linéaire.
Par hypothèse, $\Der_A(B,M)=\{0\}$ donc $d=0$.
\end{démo}
-\begin{lemme2}[Passage à la limite]\label{colim-nettes}
+\begin{lemme2}%[Passage à la limite]
+\label{colim-nettes}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre.
Supposons que $A$ soit la réunion de sous-$k$-algèbres $A_i$ formellement
nettes. Alors, $A$ est formellement net sur $k$.
@@ -1823,29 +1851,29 @@ les idéaux premiers $A$ sont tous maximaux, cf.
\ref{Spec=Specmax-cas-part}.)
\begin{lemme2}
-Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $\MM$ un
-idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/\MM$ est un isomorphisme et si l'on
-note $s_\MM:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on
-ait $a-s_\MM(a)∈\MM$, l'application $d_\MM:A→\MM/\MM²$, $a\mapsto a-s_\MM(a)
-\mod \MM²$ est une $k$-dérivation et est surjective.
+Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $𝔪$ un
+idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/𝔪$ est un isomorphisme et si l'on
+note $s_𝔪:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on
+ait $a-s_𝔪(a)∈𝔪$, l'application $d_𝔪:A→𝔪/𝔪²$, $a\mapsto a-s_𝔪(a)
+\mod 𝔪²$ est une $k$-dérivation et est surjective.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-La $k$-linéarité de $d_\MM$ est manifeste, de même que
-la surjectivité (car $s_\MM(m)=0$ pour $m∈\MM$). Calculons $d_\MM(aa')$
+La $k$-linéarité de $d_𝔪$ est manifeste, de même que
+la surjectivité (car $s_𝔪(m)=0$ pour $m∈𝔪$). Calculons $d_𝔪(aa')$
pour $a$ et $a'$ dans $A$. Puisque
$$
-\big(a-s_\MM(a)\big)\big(a'-s_\MM(a')\big)=aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a')
+\big(a-s_𝔪(a)\big)\big(a'-s_𝔪(a')\big)=aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')
$$
-appartient à $\MM²$, on a
-$d_\MM\Big(aa'-\big(as_\MM(a')+a's_\MM(a)\big)+s_\MM(a)s_\MM(a')\Big)=0$.
-Utilisant le fait que $d_\MM(k)=0$ et ,
+appartient à $𝔪²$, on a
+$d_𝔪\Big(aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')\Big)=0$.
+Utilisant le fait que $d_𝔪(k)=0$ et ,
on en tire
$$
-d_\MM(aa')=d_\MM\big(as_\MM(a')\big)+d_\MM\big(a's_\MM(a)\big)=s_\MM(a')d_\MM(a)+s_\MM(a)d_\MM(a').
+d_𝔪(aa')=d_𝔪\big(as_𝔪(a')\big)+d_𝔪\big(a's_𝔪(a)\big)=s_𝔪(a')d_𝔪(a)+s_𝔪(a)d_𝔪(a').
$$
-Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈\MM/\MM²$,
-$ax=s_\MM(a)x$.
+Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈𝔪/𝔪²$,
+$ax=s_𝔪(a)x$.
\end{démo}
\begin{lemme2}
@@ -1854,22 +1882,16 @@ on ait $𝔭²=𝔭$. Alors, $A$ est réduit.
\end{lemme2}
\begin{démo}
-D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, $\Nilp(A)=⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. D'autre part,
-puisque $A$ est nœthérien, il existe un entier $r$ tel que $\Nilp(A)^r=\{0\}$
-(cf. \refext{Spec}{Nil+noeth-implique-nilp}).
-Il en résulte que $∏_𝔭 𝔭^r=\{0\}$ car pour toute famille finie $I_{e∈E}$ d'idéaux
-d'un anneau, on a l'inclusion $∏_{e∈E}I_e^r⊆(⋂_{e∈E}I_e)^r$. (Voir
-aussi \ref{structure-algebres-finies}, démonstration.)
-Compte tenu des égalités $𝔭²=𝔭$, on a donc $∏_𝔭 𝔭=0$.
-Soit $x$ un élément non nul de $A$. Il existe un idéal premier
-— ou maximal, cela revient ici au même — $𝔭'∈\Spec(A)$ contenant
-l'annulateur $\Ann(x)=\{y∈A:yx=0\}$.
-Si l'on suppose de plus que $x$ appartient à $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$,
-il appartient en particulier à $𝔭'$. Comme d'autre part l'idéal produit $∏_𝔭 𝔭$ est
-nul, on a l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆\Ann(x)$ et, finalement, l'inclusion $∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭⊆𝔭'$.
-C'est impossible car les idéaux premiers $𝔭$ étant maximaux, il existe pour tout $𝔭≠𝔭'$
-un élément $a_{𝔭}∈𝔭-𝔭'$, de sorte que $∏_{𝔭≠𝔭'}a_{𝔭}∈\big(∏_{𝔭≠𝔭'}𝔭\big)-𝔭'$.
-Ainsi, $\Nilp(A)=⋂_𝔭 𝔭$ est réduit à l'ensemble $\{0\}$. CQFD.
+Soit $B$ un quotient de $A$. Tout idéal premier $𝔮$ de $B$
+satisfait l'égalité $𝔮²=𝔮$ : cela résulte du fait que l'idéal
+premier $𝔮$ se relève dans $A$ (\refext{Spec}{ideaux-quotients}).
+D'après \ref{k-algebres-finies} (iii), l'algèbre $A$ est isomorphe
+à un produit d'anneaux locaux, qui en sont des quotients.
+Un produit d'anneaux réduit étant réduit, on peut donc
+supposer $A$ \emph{local}. Or, d'après \emph{loc. cit.}
+l'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent.
+S'il est de plus idempotent, comme on le suppose ici,
+il est donc nul ; une telle algèbre est donc un corps, réduit.
\end{démo}
%Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux
@@ -1912,20 +1934,18 @@ une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
-de Steinitz.
-
-D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$ est
-donc étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
+de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
+est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).
\begin{remarque2}[terminologique]
Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
qui est étale est séparable au sens de la définition \ref{element-extension-separable}.
La réciproque est fausse car une extension algébrique séparable n'est pas
-nécessairement finie.
-D'autre part, nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion
-d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques.
-Ceci explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage
-le plus courant, nous préférons parler d'extension
+nécessairement finie. Ceci, joint au fait que
+nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion
+d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques,
+explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage
+le plus courant, nous préférons parler d'extension
étale plutôt que d'extension finie séparable.
\end{remarque2}