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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-24 10:56:42 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-24 10:56:42 +0100
commit3f5d4685250400d61b7dc88e0fefc6e287895b10 (patch)
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[ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;)
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-rw-r--r--chapitres/KASW.tex64
-rw-r--r--chapitres/brauer.tex26
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex34
-rw-r--r--chapitres/verselles.tex66
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index 609016d..029cbc8 100644
--- a/chapitres/KASW.tex
+++ b/chapitres/KASW.tex
@@ -570,8 +570,8 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
-\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
-dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
+\item toute racine primitive quatrième de l'unité $√{-1}$
+dans $K$ telle que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
est en fait dans $k^×$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
@@ -609,10 +609,10 @@ Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
-que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
+que $1+√{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
démontrer.) Écrivons comme précédemment
-\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
+\[1+√{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.
\begin{itemize}
\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
@@ -628,16 +628,16 @@ Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
-également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
+également exclue car on aurait alors $√{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
\end{itemize}
\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
-Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
-il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
-$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
-$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
+Puisque $(1+√{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
+il en est de même de $√{-1}$ compte tenu du fait que
+$2^{-[m/2]}(1+√{-1})^m$ appartient à l'ensemble
+$\{±√{-1},±1±√{-1}\}$.
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -716,7 +716,7 @@ conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{itemize}
\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
-$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
+$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $√{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.
@@ -776,35 +776,35 @@ $x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
\begin{itemize}
\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
-que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
-pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
+que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
+pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $√{-1}$ n'appartient
pas à $k_{n-1}$).
% changer l'étude de cas.
\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
$X²-g_n²$, de degré pair. L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
-de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
+de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))√{-1}$.
Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
-il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
-l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
-On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
+il en résulte que $√{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
+l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $√{-1}$.
+On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ √{-1}$
où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
-on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
-appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
+on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) √{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
+appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ √{-1}$ (cf. \emph{supra}),
on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
\[
-x=λ(1±\sqrt{-1}).
+x=λ(1±√{-1}).
\]
En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
-et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
+et en se souvenant que $√{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
-à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
-$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
-$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
+à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±√{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
+$1±√{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
+$√{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{démo}
@@ -2191,14 +2191,14 @@ correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
-$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
+$k(√[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
-à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
-\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
+à $W_{[q]}(k(√[℘]{f}))$.
+\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(√[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
-part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
+part, $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
@@ -2213,10 +2213,10 @@ posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass
les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
-$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
+$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(√[℘]{f})$ est le sous-corps
de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
-et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
-l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
+et d'autre part que le corps $k(√[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
+l'extension $k(√[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
@@ -2225,7 +2225,7 @@ d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
-Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
+Ainsi, $σ$ préserve $K=k(√[℘]{f})$, de sorte
que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
@@ -2235,7 +2235,7 @@ Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k)
($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
-$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
+$K ′ =k(√[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
diff --git a/chapitres/brauer.tex b/chapitres/brauer.tex
index de37610..6cb8fd6 100644
--- a/chapitres/brauer.tex
+++ b/chapitres/brauer.tex
@@ -56,7 +56,7 @@ AZUMAYA Gorô \jap{東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension fi
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
-$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
+$√{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$.
\end{définition2}
@@ -211,7 +211,7 @@ est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
-mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
+mais de la forme $K=k(√[p]{a₁},…,√[p]{a_n})$
où $p>0$ est la caractéristique
de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
@@ -716,7 +716,7 @@ Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une alg
rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
-$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
+$K_a=K(√{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
@@ -765,7 +765,7 @@ la proposition suivante.
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
-si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
+si et seulement si $b∈\N_{K(√{a})\bo K}\left(K(√{a})\right)$.
\end{proposition2}
On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
@@ -778,7 +778,7 @@ sont triviales.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
+En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y√{a} ∈ K_a=K(√{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
\end{démo}
@@ -835,7 +835,7 @@ sur $1$.
\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
-non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
+non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(√{a})\bo K)$, on a
l'égalité :
\[
[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
@@ -873,13 +873,13 @@ Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
-L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
+L'extension $K_{a,b}=K(√{a},√{b})$ de $K$ est alors galoisienne
de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
-par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
-(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
-$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
+par les conditions $τ_a(√{a})=-√{a}$
+(resp. $τ_b(√{b})=-√{b}$) et $τ_a(√{b})=√{b}$ (resp.
+$τ_b(√{a})=√{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.
Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
@@ -910,8 +910,8 @@ ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.
Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
-(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
-(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
+(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(√{a})}{√{a}}$
+(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(√{b})}{√{b}}$).
Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.
\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
@@ -928,7 +928,7 @@ une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {
Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
-Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
+Il suffit de poser $λ_a=√{b}$ et $λ_b=1$.
\end{démo}
\begin{exercice2}
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index b246206..4b26512 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -668,16 +668,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du
corollaire précédents.
\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
-$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
+$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$,
-ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$
-et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
-engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$.
-Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
+ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$
+et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
+engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$.
+Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
-rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$,
+rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$,
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
@@ -703,20 +703,20 @@ $$
On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique
$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
-Par construction, $\sqrt{3}$ (resp. $\sqrt[3]{2}$) est une valeur
+Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur
propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent,
de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme
-$α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
+$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus.
La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
-Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
+Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)
De la même façon, on vérifie par le calcul que
-$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement
-tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
+$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement
+tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
est algébrique sur $𝐐$.
@@ -833,12 +833,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
-Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
+Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
-mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
-l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et
-$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
+mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par
+l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et
+$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
@@ -2625,8 +2625,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
dont les autres racines sont des nombres complexes de module
strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
\[
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
-\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
+√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+
+√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
\]
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.
diff --git a/chapitres/verselles.tex b/chapitres/verselles.tex
index 8cfeef3..4b62ba2 100644
--- a/chapitres/verselles.tex
+++ b/chapitres/verselles.tex
@@ -369,20 +369,20 @@ sur $k$.
On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $x²=:ε∈k$ et
$y²=a+bx∈k₂$,
$a,b∈k$. Réciproquement, considérons $ε∈k∖k²$ et
-$k₂=k(\sqrt{ε})$
+$k₂=k(√{ε})$
l'extension quadratique de $k$ associée. À toute paire
d'éléments
$(a,b)$ de $k$, on associe le corps
-$k₄=k₂(\sqrt{a+b\sqrt{ε}})$.
+$k₄=k₂(√{a+b√{ε}})$.
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b\sqrt{ε})=a²-εb²$ est
+d'ordre quatre \ssi $\N_{k_2\bo k}(a+b√{ε})=a²-εb²$ est
de la forme $εc²$ pour
un $c∈k^×$.
-\item Une extension quadratique $k(\sqrt{ε})$ se plonge
+\item Une extension quadratique $k(√{ε})$ se plonge
dans une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre
quatre \ssi $ε$ est une somme
de deux carrés dans $k$.
@@ -402,7 +402,7 @@ du polynôme
X⁴+2aX²+(a²-εb²).
\]
Nécessairement $b≠0$ sans quoi $k₄$ serait
-$k(\sqrt{ε},\sqrt{a})$,
+$k(√{ε},√{a})$,
dont le groupe de Galois sur $k$ est de $2$-torsion. Ainsi,
l'égalité
$y²=a+bx$ entraîne $x∈k(y)$ : le corps $k₄$ est
@@ -455,16 +455,16 @@ soit pas un carré et $u∈k$ est non nul.
\begin{démo}
Soient $t∈k$ tel que $ε=1+t²$ ne soit pas un carré.
-Considérons $y=ε+\sqrt{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$
-de sorte que l'extension $k(\sqrt{y})\bo k$ est
+Considérons $y=ε+√{ε}$. On a $\N(y)=ε²-ε=ε(ε-1)=εt²$
+de sorte que l'extension $k(√{y})\bo k$ est
galoisienne, cyclique de degré quatre. Il en est plus généralement
-de même de l'extension $k(\sqrt{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$
+de même de l'extension $k(√{uy})\bo k$ pour tout $u ∈ k^×$
car $\N(uy)=u²\N(y)$.
Réciproquement, il résulte de la proposition suivante
-que toutes les extensions de $k(\sqrt{ε})$ de groupe $𝐙/4$
+que toutes les extensions de $k(√{ε})$ de groupe $𝐙/4$
sur $k$ s'obtiennent ainsi.
-L'élément $y=\sqrt{u(ε+\sqrt{ε})}$ satisfait l'équation
+L'élément $y=√{u(ε+√{ε})}$ satisfait l'équation
$(y^2-uε)²=u²ε$ ; son polynôme minimal est donc celui de
l'énoncé.
\end{démo}
@@ -478,10 +478,10 @@ Considérons un groupe $E$, extension non scindée de $G$ par $𝐙/2$ :
1 → 𝐙/2 → E → G → 1,
\]
où $E ↠ G$ n'a pas de section.
-Soient $L₁=K(\sqrt{y₁})\bo K$ et $L₂=K(\sqrt{y₂})\bo K$
+Soient $L₁=K(√{y₁})\bo K$ et $L₂=K(√{y₂})\bo K$
deux sous-corps de $Ω$, quadratiques sur $K$, tels que les extensions $L₁\bo k$ et $L₂\bo k$
soient galoisiennes de groupe isomorphe à $E$.
-Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(\sqrt{λ y₁})$.
+Alors, il existe $λ ∈ k^×$ tel que $L₂=K(√{λ y₁})$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -497,13 +497,13 @@ Soit $τ₁ ∈ E×_G E$ (resp. $τ₂$) le générateur du sous-groupe
d'ordre deux $1× 𝐙/2$ (resp. $𝐙/2×1$) de sorte que
$L_i=\Fix_{⟨τ_i⟩}(M)$. Soit $Δ:E → E×_G E$ le morphisme diagonal
et $k′=\Fix_{Δ(E)}(M)$. C'est une extension quadratique de $k$, car
-$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(\sqrt{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$.
-Posons $L₁′=K(\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale
-de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(\sqrt{λ})=Kk ′$
+$Δ(E)$ est d'indice deux dans $E×_G E$ : on a $k ′=k(√{λ})$ pour un certain $λ ∈ k^×$.
+Posons $L₁′=K(√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$. C'est une extension quadratique ou triviale
+de $K$. Si elle était triviale, on aurait $λ y₁ ∈ K²$ d'où $L₁=K(√{λ})=Kk ′$
et $E → G$ serait alors scindée (cf. \emph{loc. cit.}).
D'autre part $k ′$ n'est pas contenu dans $L₁$ ni $L₂$ car $Δ(E)$ ne contient
-ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $\sqrt{λ} ↦ -\sqrt{λ}$.
-Comme il agit de même sur $\sqrt{y₁}$, il fixe $\sqrt{\vphantom{y₁}λ}\sqrt{\vphantom{λ}y₁})$
+ni $τ₁$ ni $τ₂$. L'automorphisme $τ₂$ agit donc par $√{λ} ↦ -√{λ}$.
+Comme il agit de même sur $√{y₁}$, il fixe $√{\vphantom{y₁}λ}√{\vphantom{λ}y₁})$
donc $L₁′$. Par la théorie de Galois, les corps $L₂$ et $L₁ ′$ coïncident. CQFD.
\end{démo}
@@ -546,19 +546,19 @@ sur $k$.
On a donc $k₂=k(x)$ et $k₄=k₂(y)$ où $℘(x):=x²+x=ε∈k$ et
$℘(y)=a+bx∈k₂$.
Réciproquement, considérons $ε∈k∖℘(k)$ et
-$k₂=k(\sqrt[℘]{ε})$ l'extension
+$k₂=k(√[℘]{ε})$ l'extension
quadratique de $k$ associée. À toute paire d'éléments
$(a,b)$ de $k$,
-on associe le corps $k₄=k₂(\sqrt[℘]{a+b\sqrt[℘]{ε}})$.
+on associe le corps $k₄=k₂(√[℘]{a+b√[℘]{ε}})$.
\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'extension $k₄\bo k$ est galoisienne de groupe
cyclique
-d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b\sqrt[℘]{ε})=b$ est
+d'ordre quatre \ssi $\Tr_{k_2\bo k}(a+b√[℘]{ε})=b$ est
de la forme
$ε+℘(c)$ pour un $c∈k$.
-\item Une extension quadratique $k(\sqrt[℘]{ε})$ se plonge
+\item Une extension quadratique $k(√[℘]{ε})$ se plonge
toujours dans une extension galoisienne de groupe cyclique
d'ordre
quatre.
@@ -573,7 +573,7 @@ quatre.
(i) Supposons $k₄\bo k$ galoisienne de groupe isomorphe à
$C₄$.
Soient $x$ et $y$ comme ci-dessus. Nécessairement $b≠0$
-sans quoi $k₄$ serait $k(\sqrt[℘]{ε},\sqrt[℘]{a})$ dont le
+sans quoi $k₄$ serait $k(√[℘]{ε},√[℘]{a})$ dont le
groupe
de Galois sur $k$ est de $2$-torsion.
L'élément $y$ est racine du polynôme
@@ -586,7 +586,7 @@ obtenu en écrivant
\]
L'égalité $y²+y=x$ montre que $x∈k(y)$ si bien
que $k₄$ est un corps de rupture du polynôme ci-dessus.
-Le conjugué de $x=\sqrt[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués
+Le conjugué de $x=√[℘]{ε}$ est $x+1$ ; les conjugués
de $y$ sont donc $y,y+1,y'$ et $y'+1$ où $℘(y')=x+1$.
Soit $σ∈\Gal(k₄\bo k)$ tel que $σ(y)=y'$. On a alors
nécessairement
@@ -707,7 +707,7 @@ extension de $V₄$ par $\{±1\}$ — est rappelée en \refext{Azu}{quaternions
est noté $Q₈$.
\begin{corollaire2}
-Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(\sqrt{a})\bo k$ se plonge
+Soit $a ∈ k-k²$. Si l'extension quadratique $k(√{a})\bo k$ se plonge
dans une extension quaternionique, l'élément $a$ est une somme de trois
carrés dans $k$.
\end{corollaire2}
@@ -733,16 +733,16 @@ P=\left(\begin{matrix}1 & 1 & -1/6\\ -1 & 1 & -1/6 \\ 0 & 1 & 1/3
nous permet de retrouver, pour $λ=6$, l'extension
de $𝐐$ construite par Dedekind (\cite{}) :
\[
-𝐐(\sqrt{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}})=𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})}).
+𝐐(√{6+3√{2}+2√{3}+2√{6}})=𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})}).
\]
En effet, il résulte de \refext{Azu}{norme spinorielle}
-que l'on a dans $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×/{𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3})^×}²$ l'égalité
+que l'on a dans $𝐐(√{2},√{3})^×/{𝐐(√{2},√{3})^×}²$ l'égalité
\[
-\NSpin\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/\sqrt{2},1/\sqrt{3},\sqrt{6})\big)+1
-=1+1/\sqrt{2}+1/\sqrt{3}+\sqrt{6}/3.\]
+\NSpin\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)=\Tr\big(P⋅\diag(1/√{2},1/√{3},√{6})\big)+1
+=1+1/√{2}+1/√{3}+√{6}/3.\]
-Le fait que $𝐐(\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$ coïncide
-avec le corps $𝐐(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{6})})$, \emph{a
+Le fait que $𝐐(√{(2+√{2})(3+√{6})})$ coïncide
+avec le corps $𝐐(√{2},√{3},√{(2+√{2})(3+√{6})})$, \emph{a
priori} plus gros,
est un fait général, expliqué à la fin de la démonstration de l'implication (i)⇒(ii).
\end{exemple2}
@@ -869,7 +869,7 @@ Ceci achève la démonstration de l'implication (ii)⇒(i).
Pour conclure il nous faut comprendre quelles sont les
classes $x$ dans $k_{V₄}^×/{k_{V₄}^×}²$ telles
-que $k_{V₄}(\sqrt{x})$ soit quaternionique sur $k$.
+que $k_{V₄}(√{x})$ soit quaternionique sur $k$.
Il résulte de la démonstration précédente que si $P$
est comme dans l'énoncé, la classe $\NSpin(m_P)=\NSpin(m_P^{-1})$ convient.
Ce n'est autre que la classe de l'énoncé, pour $λ=1$.
@@ -1017,7 +1017,7 @@ Le lemme \ref{décomposition classe quaternionique}
donne donc une décomposition de $∂[k_{V₄}]$ en produits de $1$-cocycles.
Il nous faut comprendre quelle est l'image de $[\pr_\i],[\pr_\j] ∈ H¹(V₄,𝐅₂)$ dans $H¹(Π_k,𝐅₂)$
par $[k_{V₄}]:Π_k → V₄$. Rappelons (\ref{notations Witt non 2}) que si
-$k_{V₄}=k(\sqrt{b_\i},\sqrt{b_\j},\sqrt{b_\k})$,
+$k_{V₄}=k(√{b_\i},√{b_\j},√{b_\k})$,
où les $b_μ$ sont comme en \ref{notations Witt non 2}, on note $σ_\i$
l'unique $k$-automorphisme non trivial de $k_{V₄}$
tel que $σ_\i(b_\i)=b_\i$ ; on a alors nécessairement $σ_\i(b_\j)=-b_\j$
@@ -1040,7 +1040,7 @@ l'unique caractère tel que pour tout $σ ∈ Π_k$
et tout choix d'une racine carrée de $a$ dans $k\sep$,
on ait
\[
-\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}=(-1)^{(a)(σ)}.
+\frac{σ(√{a})}{√{a}}=(-1)^{(a)(σ)}.
\]