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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-13 12:45:01 +0200
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-10-13 12:45:01 +0200
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[LG] clarifications mineures sur Fourier adélique
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex151
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -804,10 +804,10 @@ relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
-L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}),\] où $\{x\}$ désigne
+L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
-\[𝐞_{p,t}:x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res_t(x dt)),\]
+\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ₀(\Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.
@@ -820,7 +820,7 @@ premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
-le caractère additif $e_{K,ω}: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
+le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
@@ -906,7 +906,8 @@ et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $e_{K,ω}$, voir le théorème de Riemann-Roch.
+Pour ce qui est du niveau de $e_{K,ω}$, voir le théorème de Riemann-Roch
+et Riemann-Hurwitz.
\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
@@ -914,6 +915,18 @@ si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et s
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+\label{niveau reste nul si extension nette}
+Soit $L\bo K$ une extension séparable non ramifiée [nette ?]
+de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
+Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
+du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Trivial : cf. \ref{}.\XXX
+\end{démo}
+
\subsection{Transformation de Fourier}
\subsubsection{Espace de Schwartz}
@@ -1687,6 +1700,7 @@ Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^a(K)$ est
\end{démo}
\begin{proposition2}
+\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\end{proposition2}
@@ -1695,6 +1709,19 @@ Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\XXX
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
+Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
+et $ω$ une forme différentielle non nulle.
+Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$,
+$𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
\subsubsection{}
\subsection{}
@@ -2189,14 +2216,16 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
-Fixons un corps global $K$ un corps global.
+Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsection{Transformée de Fourier}
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
+\label{Bruhat-Schwart adélique}
On note $𝒮(A_K)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
-$f=⊠′_x f_x$ où chaque $f_x ∈ 𝒮(K_x)$ % mettre des \bigboxtimes
+externe restreint $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$ où chaque $f_x ∈ 𝒮(K_x)$ % mettre des \bigboxtimes
et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$, $f_x=𝟭_{𝒪_x}$.
+On écrit aussi $f=(f_x)_{x ∈ Σ(K)}$.
Pour $f$ comme ci-dessus, on note $f^a$ (resp. $f^u$)
la fonction $⊠_{x ∈ Σ^a(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^a(K)} K_x → 𝐂$
(resp. $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} f_x : ∏′_{x ∈ Σ^u(K)} K_x → 𝐂$,
@@ -2213,70 +2242,92 @@ linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
tel que $n_x=0$ pour presque tout $x$.
-\subsubsection{caractères additifs adéliques : exemples}
+\subsubsection{Caractères additifs $𝐀_{𝐐}$}
Reprenons les notations de la proposition \ref{caractère corps local}.
-Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$}, choisissons un
-élément $t ∈ K$ tel que le corps $K$ soit fini
-\emph{séparable} sur son sous-corps $k(t)$, où $k$ est le corps des constantes de $K$.
-[Une variante en termes de $ω ∈ Ω¹_K$ serait sans doute préférable \XXX]
-Posons $K₀=𝐐$ (resp. $K₀=k(t)$) si $\car(K)=0$ (resp. $\car(K)=p>0$).
-Considérons les caractères locaux $ψ_x=e_{K_x}$ (resp. $ψ_x=e_{K_x,dt}$).
-[...]
-On a $n(ψ_x)=0$ pour presque tout $x$.
-On peut supposer $K=K₀$ (cf. sorites) ...
-\begin{proposition2}
-\begin{enumerate}
-\item Soit $K$ un corps global de caractéristique nulle.
-Le produit externe restreint \[ψ_K:=⊠′_x e_{K_x},\]
-où $e_{K_x} ∈ \chap{K_x}$ est défini comme en \ref{caractère corps local} (i),
-est un caractère non trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
-\item Soit $K$ un corps global d'égale caractéristique $p>0$
-et soit $ω ∈ Ω¹_K$ une forme différentielle non nulle.
-Le produit externe restreint \[ψ_{K,ω}:=⊠′_x e_{K_x,ω_x},\]
-où $e_{K_x,ω_x} ∈ \chap{K_x}$ est défini comme en \ref{caractère corps local} (ii),
-est un caractère non trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
-\end{enumerate}
-\end{proposition2}
+Le produit externe restreint
+\[
+ψ_{𝐐}=⊠′_{p ∈ Σ(𝐐)} 𝐞_{p}
+\]
+\[
+a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
+\]
+est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
+adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
+un caractère additif de $𝐀_𝐐$, trivial sur $𝐐$ par la formule
+du produit (\ref{}).
-Remarquons que, par construction, $ψ_K=ψ_𝐐 ∘ \Tr_{𝐀_K \bo A_𝐐}$ (cf. \ref{adèle et cb}).
-D'autre part, en caractéristique $p>0$, le choix de $ω$
-correspond au choix d'un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
-$K \bo 𝐅_q(t)$ soit finie séparable (où $𝐅_q$ est le corps
-des constantes de $K$). On a alors $ψ_{K,ω}=ψ_{𝐅_q(t),dt} ∘
-\Tr_{𝐀_K \bo A_{𝐅_q(t)}}$. \XXX
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐀_𝐐 ≃ \chap{𝐀_𝐐}$
+est un \emph{isomorphisme} et $K$ est orthogonal à lui-même :
+un élément $a$ de $A_𝐐$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
+$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$ c'est-à-dire si et seulement si la
+restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
-$n(ψ_x)=0$ pour presque tout $x$.
+En effet … \XXX
-\begin{démo}
-(i) La trivialité sur $K$ est conséquence de la formule du produit.
-Le reste est immédiat. \XXX
+\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_{𝐅_p(t)}$}
+Soit $p>0$ un nombre premier et posons $𝐅=𝐅_p(t)$.
-(ii) [...]
+Le produit externe restreint
+\[
+ψ_{𝐅}=⊠′_{x ∈ Σ(𝐅)} 𝐞_{𝐅_x,dt}
+\]
+\[
+a=(a_x)↦ ∏_x 𝐞_{𝐅_x,dt}(a_x)
+\]
+est bien défini — car $𝐞_{𝐅_x,dt}(𝒪_{𝐅_x})=\{1\}$ pour tout $x ≠ ∞$
+(c'est-à-dire ne correspondant pas à l'anneau de valuation $𝐅_p(1/t)$)
+(cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}) et induit un caractère additif de $𝐀_𝐅$,
+trivial sur $𝐅$ par la formule des résidus (\ref{}).
-Cf. [Weil, Adèles] II.2.1.1
+Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐅$, $𝐀_𝐅 ≃ \chap{𝐀_𝐅}$
+est un \emph{isomorphisme} et $𝐅$ est orthogonal à lui-même.
-\end{démo}
+En effet … \XXX
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
-Soit $K$ un corps global et soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non
-trivial de $A_K$, trivial sur $K$.
+Soit $K$ un corps global.
+Il existe un caractère non trivial $ψ$ de $A_K$, trivial sur $K$.
Le morphisme $A_K → \chap{A_K}$, $a↦ [×a]^*ψ$
-est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même :
-un élément $a$ de $A_K$ appartient à $K$ si et seulement si $ψ(ab)=1$ pour tout $b∈K$.
+est un isomorphisme et $K$ est orthogonal à lui-même.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+Cf. [Weil, Adèles] II.2.1.1
+On se ramène au cas $K=𝐐$ ou $K=𝐅$ via une extension étale.
+\end{démo}
+
\subsubsection{Fourier sur $A_K$}
+Soit $ψ= (ψ_x)$ un caractère comme en \ref{Pontrâgin pour adèles}.
+Pour chaque fonction $f=(f_x)$ produit externe restreint
+comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on pose :
+\[
+ℱ_ψ(f)=(ℱ_{ψ_x}(f_x)),
+\]
+où l'on rappelle que $ℱ_{ψ_x}$ désigne la transformée
+de Fourier local auto-duale (\ref{Fourier et mesure locaux}).
+
+Fait : $ℱ_ψ(f)$ appartient à $𝒮(𝐀)$. Utilise dévissage
+$f^u=𝟭_{a+M𝒪}$. [à écrire différemment : commencer par ça puis faire la définition.]
+
+Exemple. Cas archimédien sur $𝐐$ [?]
+\[
+ℱ_ψ(f^a ⊠ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊠ 𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀}.
+\]
+
+
+
+\begin{remarque2}
+$ℱ_ψ(f)=∫ f ψ d μ_ψ$ et infra (mesure indépendante de $ψ$)… \XXX
+\end{remarque2}
-$ℱ: 𝒮 → 𝒮$. Donc, en particulier, la famille $ℱ_ψ(f)(χ)$
-($χ$ variable, identifié à élément de $K$) est sommable.
Formule d'inversion.
\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
-Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
+Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.