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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-15 16:17:25 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-11-15 16:17:25 (GMT)
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[Gröbner] Élimination des hypothèses de perfection (début).
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex133
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index 968275d..bf2c0c8 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1115,6 +1115,21 @@ combinaison $\QQ[x,y]$-linéaire de ceux-ci.
caractériser les idéaux $I$ tels qu'aucun sous-ensemble strict de la
base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ?
+\begin{proposition2}\label{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $B$ une base de Gröbner
+(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$. Alors, pour n'importe
+quelle extension de corps $K$ de $k$, l'idéal $I \cdot
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet
+encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base de Gröbner réduite).
+\end{proposition2}
+\begin{remarque2}
+Il est clair que $B$ engendre $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ dans
+$K[Z_1,\ldots,Z_d]$. Comme le critère de
+Buchberger \ref{critere-de-buchberger} ne dépend pas du corps utilisé,
+il s'agit encore d'une base de Gröbner, et de même elle est réduite
+car cette condition ne dépend pas du corps utilisé.
+\end{remarque2}
+
%
\subsection{Algorithmes fondamentaux}
@@ -1192,12 +1207,13 @@ possibles entre les $t$ variables restantes. (En admettant certains
résultats de géométrie algébrique notamment le Nullstellensatz \XXX,
lorsque $k$ est algébriquement clos, l'ensemble $\mathscr{Z}(J)$ des
$t$-uplets $(z_1,\ldots,z_t)$ vérifiant les équations en question est
-simplement la \emph{projection} sur les $t$ premières coordonnées de
-l'ensemble $\mathscr{Z}(I)$ des $d$-uplets $(z_1,\ldots,z_d)$
-vérifiant $f_i(z_1,\ldots,z_d)=0$.) Ce problème de trouver des
-générateurs de $J$ est le problème fondamental de la théorie de
-l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un algorithme
-permettant de le résoudre :
+simplement l'adhérence pour la topologie de Zariski (c'est-à-dire le
+plus petit $\mathscr{Z}(J)$ possible la contenant) de la projection
+sur les $t$ premières coordonnées de l'ensemble $\mathscr{Z}(I)$ des
+$d$-uplets $(z_1,\ldots,z_d)$ vérifiant $f_i(z_1,\ldots,z_d)=0$.) Ce
+problème de trouver des générateurs de $J$ est le problème fondamental
+de la théorie de l'élimination. Les bases de Gröbner fournissent un
+algorithme permettant de le résoudre :
\begin{proposition2}\label{base-de-groebner-elimination}
Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
@@ -1253,6 +1269,17 @@ degré total en les seules variables $Z_1,\ldots,Z_t$ comme premier
critère de comparaison, et en cas d'égalité comparer avec
$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.)
+\begin{corollaire2}\label{projection-et-extensions-de-corps}
+Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $t\leq d$ : notons $J = I
+\cap k[Z_1,\ldots,Z_t]$. Alors, pour n'importe quelle extension de
+corps $K$ de $k$, on a $J \cdot K[Z_1,\ldots,Z_t] = (I \cdot
+K[Z_1,\ldots,Z_d]) \cap K[Z_1,\ldots,Z_t]$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+C'est une conséquence immédiate de la proposition précédente et
+de \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}.
+\end{proof}
+
\section{Idéaux de dimension $0$}
@@ -1484,17 +1511,31 @@ soit $n \in \NN$), autrement dit lorsque le quotient $A/J$ est réduit.
Soit maintenant $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Si $I$ est à la fois radical
et de dimension $0$, autrement dit si $A/I$ est réduit et artinien,
d'après \refext{Spec}{artinien réduit=produit corps}, cet anneau est
-un produit de corps, à savoir les $A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$
-parcourt les idéaux maximaux de $A$ contenant $I$, qui sont en nombre
-fini et dont $I$ est l'intersection (\XXX).
+un produit de corps (extensions finies de $k$), à savoir les
+$A/\mathfrak{m}$ où $\mathfrak{m}$ parcourt les idéaux maximaux de $A$
+contenant $I$, qui sont en nombre fini et dont $I$ est
+l'intersection (\XXX).
+
+Dans cette situation ($I$ un idéal de dimension $0$ de $A =
+k[Z_1,\ldots,Z_d]$), on dira que $I$ est \emph{géométriquement
+ radical} lorsque $I$ est encore radical après passage à la clôture
+algébrique $k'$ de $k$, c'est-à-dire que $I \cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$
+est radical ; cela revient à demander la même chose pour $k'$ la
+clôture parfaite de $k$ (\XXX). Cela équivaut à dire que $A/I$ est un
+produit de corps qui soient des extensions (finies) \emph{séparables}
+de $k$. On dit aussi que $A/I$ est \emph{géométriquement réduite}.
\begin{proposition2}[« lemme 92 » de Seidenberg]\label{critere-seidenberg-ideal-radical}
Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ (où $k$ est
un corps) tel que, pour chaque $1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contienne
un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant intervenir que de la
-variable $Z_j$) \emph{séparable}. Alors $I$ est radical.
+variable $Z_j$) \emph{séparable}. Alors $I$ est géométriquement radical.
\end{proposition2}
\begin{proof}
+Puisque l'hypothèse effectuée reste vérifiée si on remplace $k$ par sa
+clôture algébrique (ou parfaite), il nous suffit de montrer que $I$
+est radical.
+
On va montrer que $I$ est intersection finie d'idéaux maximaux.
On procède par récurrence sur $d$. Si $d=1$, comme tout diviseur d'un
@@ -1529,18 +1570,13 @@ $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}_i)$, et comme $k[Z_1,\ldots,Z_d] /
(puisque $\varphi$ est surjectif), ces idéaux sont maximaux.
\end{proof}
-\begin{remarque2}\label{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg}
-En fait, on a prouvé que $I$ était \emph{géométriquement} radical,
-c'est-à-dire qu'il est radical après passage à la clôture algébrique,
-puisque l'hypothèse demeure vérifiée après ce passage.
-\end{remarque2}
-
\begin{proposition2}\label{algebre-de-decomposition-universelle-est-reduite}
Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
décomposition universelle définie
en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors
-celle-ci est réduite (l'idéal $I$ est radical).
+celle-ci est géométriquement réduite (l'idéal $I$ est géométriquement
+radical).
\end{proposition2}
\begin{proof}
La proposition \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle} et
@@ -1562,53 +1598,72 @@ Galois, à rapprocher de \XXX.
\end{remarque2}
La réciproque de \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} est également
-vraie, modulo la
-remarque \ref{remarque-separabilite-dans-critere-de-seidenberg} :
+vraie :
\begin{proposition2}\label{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}
-Soit $k$ un corps parfait, et soit $I$ un idéal radical de
-dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout $1\leq j\leq
-d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne faisant
-intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit $I \cap
-k[Z_j]$ est lui-même radical (i.e., engendré par un polynôme
-séparable).
+Soit $k$ un corps, et soit $I$ un idéal de dimension $0$ et
+géométriquement radical de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors pour tout
+$1\leq j\leq d$, l'idéal $I$ contient un polynôme $g \in k[Z_j]$ (ne
+faisant intervenir que de la variable $Z_j$) séparable, autrement dit
+$I \cap k[Z_j]$ est lui-même géométriquement radical (i.e., engendré
+par un polynôme séparable).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Sans perte de généralité on peut supposer $j=1$.
-D'après \ref{projection-de-dimension-0}, il existe un polynôme non nul
-dans $I \cap k[Z_1]$. Si $g$ est sa partie sans facteur carré (i.e.,
-le produit de ses facteurs irréductibles distincts), alors $g^N \in I$
-pour $N$ assez grand, donc $g \in I$ puisque $I$ est radical. Comme
-$k$ est parfait, $g$ est séparable.
+D'après \ref{projection-de-dimension-0}, il existe un polynôme $g$ non
+nul qui engendre $I \cap k[Z_1]$.
+
+Traitons d'abord le cas où $k$ est supposé \emph{parfait}. Si $g_1$
+est la partie sans facteur carré de $g$ (i.e., le produit de ses
+facteurs irréductibles distincts), alors $g_1^N$ est multiple de $g$
+pour $N$ assez grand, donc $g_1^N \in I$, donc $g_1 \in I$ puisque $I$
+est radical. Ceci montre $g_1 \in I \cap k[Z_1]$, et comme $g$ était
+censé engendrer $I \cap k[Z_1]$, on a $g = g_1$ sans facteur carré.
+Comme $k$ était supposé parfait, $g$ est séparable.
+
+Si maintenant $k$ n'est plus supposé parfait, soit $k'$ sa clôture
+algébrique ou sa clôture parfaite.
+D'après \ref{projection-et-extensions-de-corps}, on a $(I\cdot
+k'[Z_1,\ldots,Z_d]) \cap k'[Z_1] = (I\cap k[Z_1]) \cdot k'[Z_1]$.
+Comme $I\cdot k'[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical (puisque $I$ est supposé
+géométriquement radical), l'idéal $(I\cap k[Z_1]) \cdot k'[Z_1]$ est
+donc radical, mais cet idéal vaut $g\cdot k'[Z_1]$ : donc $g$ est
+séparable (dans $k'[Z_1]$ ou dans $k[Z_1]$, cela revient au même).
\end{proof}
-De façon plus concise, sur un corps parfait, un idéal de dimension $0$
-de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est radical si et seulement si tous ses idéaux
-d'élimination à une seule variable le sont.
+De façon plus concise, un idéal de dimension $0$ de
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ est géométriquement radical si et seulement si
+tous ses idéaux d'élimination à une seule variable le sont.
Ceci nous permet de donner une conséquence algorithmique :
\begin{algorithme2}\label{algorithme-test-ideal-radical-dimension-0}
Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
-$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait, on peut tester si $I$ est
-radical, ou, s'il ne l'est pas, calculer son radical.
+$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, on peut tester si $I$ est géométriquement
+radical. De plus, si $k$ est parfait, on peut calculer le radical
+de $I$.
\end{algorithme2}
\begin{proof}[Description de l'algorithme]
Pour chaque $j$, utiliser \ref{base-de-groebner-elimination} pour
calculer le générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (c'est-à-dire une
base de Gröbner réduite de cet idéal), et tester si ce générateur est
-séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est radical, sinon, il ne
-l'est pas.
+séparable. S'ils le sont tous, alors $I$ est géométriquement radical,
+sinon, il ne l'est pas.
-Dans le cas où $I$ n'est pas radical, si $g_j$ désigne la partie sans
+Dans le cas où $k$ est parfait, si $g_j$ désigne la partie sans
facteur carré du générateur unitaire de $I \cap k[Z_j]$ (qu'on peut
calculer en évaluant de façon répétée des pgcd avec la dérivée \XXX),
le radical de $I$ est l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$.
\end{proof}
\begin{proof}
+Le premier paragraphe ne fait que reformuler
+\ref{critere-seidenberg-ideal-radical} et
+\ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}.
+
Seule l'affirmation contenue dans le dernier paragraphe nécessite
encore une démonstration. Chacun des $g_j$ est contenu dans le
radical de $I$ (puisque $g_j^N$ pour $N$ assez grand). Si $J$ désigne
l'idéal engendré par $I$ et tous les $g_j$, alors $J$ est radical
-d'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical}, contient $I$, et est
+d'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical} (puisque les $g_j$ sont
+séparables, $k$ étant parfait) ; de plus $J$ contient $I$, et est
contenu dans le radical de $I$. Il résulte que $J$ est le radical
de $I$ (ce dernier étant le plus petit idéal radical contenant $I$).
\end{proof}