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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 11:32:29 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-04 11:32:29 +0100
commit445bf674faedf1d16dca5767b9f58e65a0ec26b3 (patch)
tree3f99ce4fa883440427819f37f43c9a4ee63cc64b /chapitres
parent8b36c0c115059484f715041b5321dcf1edd9f81a (diff)
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[LG] ζ(2k) ∈ π^k 𝐐 par récurrence suivant Zagier et Calabi
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex39
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d3ec7ae..38899e8 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2976,10 +2976,41 @@ et
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).
-\begin{exercice2}
-$ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence.
-Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
-cohomologie de $\SL₂(𝐙)$ ».
+\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
+Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
+la fraction rationnelle
+\[
+f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
+\frac{1}{X^{k-2}Y²} + \frac{2}{X^{k-1} Y}.
+\]
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que
+\[
+f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
+=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
+\]
+\item En déduire que
+\[
+\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
+\]
+\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$.
+\item Montrer que
+\[
+∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
+\]
+Vérifier que la substitution
+$(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
+a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
+\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
+bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
+$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
+En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
+\end{enumerate}
+%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
+%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
+%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
+%harmonic series and volumes », 1993.
+\nocite{Sums@BCK}
\end{exercice2}
\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}