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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 22:02:19 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 22:02:19 +0100
commit45291f96c75f64966b066868523a3b2c31604610 (patch)
tree64b0b5a2c7b809848e4a7bafe5b098b5339a3e24 /chapitres
parent3ab13e83f8e9b5bfdff5e72b53ff54f8995628bb (diff)
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[Alg] critère diagonalisabilité via ♯π₀
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/extensions-algebriques.tex9
1 files changed, 7 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex
index 2a4865a..70cd5ea 100644
--- a/chapitres/extensions-algebriques.tex
+++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex
@@ -18,6 +18,7 @@
%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
+\synctex=1
\textwidth16cm
\hoffset-1.5cm
@@ -260,6 +261,7 @@ Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
isomorphisme ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme (d'algèbres) $A⥲k^X$ ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $\#A^\japmath{田}(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
+\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈
\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est
\emph{codiagonalisable}.
@@ -274,9 +276,12 @@ est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$.
Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$.
-(ii) ⇒ (iv). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
+(iv) ⇔ (ii) Résulte de \refext{Spec}{pi0 produit},
+\ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini} et
+\ref{pi0(artinien)=fini} \XXX.
+(ii) ⇒ (v). La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
-(iv) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
+(v) ⇒ (ii). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.