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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-20 16:58:45 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-09-20 16:58:45 +0200
commit454ae64e8339e30daeb03093b166093b69bc24dc (patch)
tree514e47df18461cd696e2cbb56c5f06d0379855e9 /chapitres
parent96cf8737ca78fcab637289471ff135ebea1a4b80 (diff)
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[Gröbner] Comment ajouter une variable en position nette.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex27
1 files changed, 26 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index dc68db2..b86cd0b 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1657,7 +1657,7 @@ du $k$-espace vectoriel $k[Z_j]/(I \cap k[Z_j])$.
\end{remarque2}
On peut donner un critère algorithmique encore plus précis :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{critere-nettete-dimension-0}
Soit $I$ un idéal de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$. Alors $I$
est en position nette par rapport à $Z_1$ si et seulement si, pour
l'ordre lexicographique (où on est convenu d'ordonner les variables de
@@ -1770,6 +1770,31 @@ K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est surjectif, autrement dit que
$\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$.
\end{proof}
+\begin{proposition2}
+Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où
+$k$ est un corps parfait infini. Alors il existe $c_1,\ldots,c_d \in
+k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et $Y -
+(c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d)$ soit en position nette par rapport
+à $Y$, et plus généralement dans n'importe quelle partie infinie
+de $k$ on peut trouver de tels $c_i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La proposition précédente montre que pour chaque $i$ il existe $F \in
+k(C_1,\ldots,C_d)[Y]$ tel que $Z_i \equiv F(C_1,\ldots,C_d,Y)
+\pmod{\tilde I}$ (avec le $\tilde I$ défini plus haut), c'est-à-dire
+que $Z_i \equiv F(C_1,\ldots,C_d, (C_1 Z_1 + \cdots C_d Z_d))
+\pmod{I}$. Si $q \in k[C_1,\ldots,C_d]$ est un dénominateur commun
+aux coefficients de $F$ en la variable $Y$, on a $q\cdot Z_i \equiv
+q\cdot F(C_1,\ldots,C_d, (C_1 Z_1 + \cdots C_d Z_d))$ où $q \cdot F
+\in k[C_1,\ldots,C_d,Y]$. Puisque $k$ est infini, on peut trouver
+$c_1,\ldots,c_d$ dans $k$ (ou dans n'importe quelle partie infinie
+prescrite à l'avance de $k$) n'annulant pas $q$
+(cf. \refext{Calculs}{un-ferme-de-zariski-strict-n-est-pas-plein}
+\XXX) : on a alors $Z_i \equiv F(c_1,\ldots,c_d, (c_1 Z_1 + \cdots c_d
+Z_d)) \pmod{I}$ en divisant par $q(c_1,\ldots,c_d)$. C'est bien ce
+qu'on voulait montrer.
+\end{proof}
+
\ifx\danslelivre\undefined