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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-14 18:35:54 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-14 18:35:54 +0100
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[LG] Poisson-Riemann-Roch : fin du premier jet
L'essentiel y est mais il faut pas mal peaufiner... Idéalement, la théorie de l'intégration devrait disparaître : tout est discret/fini dans le cas des corps de fonctions (s'en convaincre).
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex176
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -830,6 +830,7 @@ On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
+\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
@@ -2174,7 +2175,7 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non a
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
-$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ_f(K)} 𝐙$ des
+$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝐙$ des
\emph{diviseurs} de $K$.
\begin{lemme2}
@@ -2213,7 +2214,9 @@ On a la formule des résidus suivante.
C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
-\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
+\subsubsection{}
+\label{définition Pic}
+On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
Comme $K^×_𝐀/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
@@ -2538,6 +2541,7 @@ $K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}
\subsubsection{Transformée de Fourier sur $K_𝐀$}
+\label{définition Fourier adélique}
Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Il résulte de ce qui précède
que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
@@ -2552,8 +2556,13 @@ De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
\XXX Si l'on note $μ_ψ=\colim μ_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
-des $μ_{ψ_x}$, définie par [...],
-on a bien sûr l'égalité
+des $μ_{ψ_x}$, définie par
+\[
+μ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ_U,
+\]
+où [...] (cf. \ref{mesure produit-colimite}).
+
+On a bien sûr l'égalité
\[
ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ_ψ
\]
@@ -2567,19 +2576,19 @@ Considérons :
— un élément $N∈ 𝐙-\{0\}$ ;
-— un élément $x$ un élément de $𝐐$.
+— un élément $o$ un élément de $𝐐$.
Alors,
\[
-ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐙}})=
+ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^∞) \big) ⊠
-\big( [×x]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
+\big( [×o]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
\]
où $ψ_𝐐^{ ≠ ∞}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
$\chap{𝐙}=\lim_P 𝐙/P ⥲ ∏_p 𝐙_p$.
Cela résulte immédiatement de l'égalité
-$𝟭_{x_p+ N 𝐙_p}=[-x_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
+$𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
de \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii), et de la formule du produit
$∏_p |N|_p=1/|N|$.
@@ -2593,11 +2602,11 @@ Par linéarité, on peut supposer $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ comme
ci-dessus. Compte tenu de ce qui précède, il nous faut
vérifier l'égalité
\[
-∑_{λ ∈ x+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ x) \chap{f^∞}(λ)
+∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o) \chap{f^∞}(λ)
\]
qui résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
-appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + x)$, dont la transformée
-de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ x/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
+appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + o)$, dont la transformée
+de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
\end{exemple2}
@@ -2651,14 +2660,16 @@ aux mesures auto-duales $μ_{ψ_x}$. Alors, $μ_ψ(K_𝐀/K)=1$.
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
-Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
+Pour tout idèle $i$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
-∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a).
+∑_{λ ∈ K} f( λ i )=\frac{1}{|i|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /i).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
+
+
\begin{remarques2}
En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
@@ -2669,12 +2680,18 @@ Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
Cf. Goldstein, p. 150.
\end{remarques2}
+\subsubsection{Démonstration du (ii)}
+
+Résulte immédiatement de la définition \ref{définition Fourier adélique}
+ et de la proposition \ref{Fourier et mesure locaux} (iv)-(v).
+
\subsubsection{Démonstration du (iii) : préliminaires}
+\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions le fait suivant :
\begin{quote}
-La somme de fonctions $x↦ ∑_{λ ∈ Γ} f(x+λ)$ converge uniformément
+La somme de fonctions $a ∈ K_𝐀 ↦ ∑_{λ ∈ Γ} f(a+λ)$ converge uniformément
sur $C$.
\end{quote}
@@ -2688,9 +2705,9 @@ sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$
si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ;
c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse
faite sur $K$.) La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
-que chaque terme $f(x+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
+que chaque terme $f(a+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
si $λ ∈ K ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^\Supp$ désigne
-l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(x,y)↦ x-y$.
+l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(a,b)↦ a-b$.
L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie},
la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie
et le résultat en découle aussitôt.
@@ -2698,21 +2715,21 @@ et le résultat en découle aussitôt.
❧ Cas ultramétrique.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
-$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{a+n𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$
+$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+n𝒪}$, avec $o ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
-Lorsque $x$ appartient à $C$, les termes $f(x+λ)$
+Lorsque $a$ appartient à $C$, les termes $f(a+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
-$λ ∈ K ∩ \big((a+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
+$λ ∈ K ∩ \big((o+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}=K_𝐀(Σ^{\mathrm{arch}})$.
-L'application $λ↦ a+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ a+n C^{\mathrm{ultr}}$)
+L'application $λ↦ o+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ o+n C^{\mathrm{ultr}}$)
étant une bijection de $K$ dans $K$ (resp.
de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$),
-on peut supposer que $a=0$ et $n=1$.
+on peut supposer que $o=0$ et $n=1$.
Comme $|f^{\mathrm{ultr}}| ≤ 1$,
il suffit donc majorer la somme :
\[
-x^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(x^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|,
+a^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(a^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|,
\]
où $λ^{\mathrm{ultr}}$ désigne l'image de $λ$
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{v ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_v ≃ 𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$.
@@ -2735,59 +2752,62 @@ en exercice au lecteur.
\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
-et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$.
-Soit $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
+et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
+de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient par groupe discret}).
+Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
déduite de
\[
g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
-par passage au quotient.
-Il résulte de \ref{caractères séparent les points}
-et du théorème de Stone-Weierstraß (\cite[X.§4, th. 3]{TG@Bourbaki}),
+par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
+Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
+de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
+théorème de densité de Stone-Weierstraß (\cite[X.§4, th. 3]{TG@Bourbaki})
que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
-par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$.
-Ainsi, la famille de ces caractères forme
-une base hilbertienne de l'espace Hilbertien
-séparable $L²(X)$. [...]
-
- \[⁂\]
-
-
-
-
-
-construction ; notons $F$ la fonction continue induite sur
-le quotient (compact) $X=G \bo Γ$. Les caractères $π$
-de $G \bo Γ$ séparent les points, comme nous l'avons vu
-en \ref{Pontrâgin pour les adèles}. D'après le théorème de
-Stone, l'espace vectoriel engendré par les caractères de $G \bo Γ$ dans l'ensemble
-des fonctions continues sur ce même espace est donc
-dense pour la topologie de la convergence uniforme.
-(Notons qu'il contient les constantes.)
-Ainsi on peut écrire :
+par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
+la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
+\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
-∑_{γ ∈ Γ} f(\tiret +γ)=F= ∑_{π ∈ \chap{G \bo Γ}} c_π(F) π.
+F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
-En conséquence, on a
+où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$.
+Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient
+à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
+est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
+et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
\[
-∑_γ f(γ)=∑_{π ∈ \chap{G \bo Γ}} c_π(F).
+∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F).
\]
-D'autre part,
+Calculons.
\[
-c_π(F)=∫_{G \bo Γ} F ⋅ π^{-1}   d μ_{G\bo Γ}
+c_{\chap{x}}(F)
+=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g})
+=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g)
+=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
-où $μ_{G\bo Γ}$ est la mesure de Haar de masse totale unité.
-Cela résulte de la formule d'orthogonalité des
-caractères.\XXX
-On conclut en remarquant que
+où la dernière égalité est une définition du terme de droite.
+
+Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé.
+Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles},
+chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
+un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
\[
-c_π(F)=ℱ_ψ(f)(x)= ∫_G f ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
-=∫_{G\bo Γ} F ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
+ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)
\]
-etc. [Noter $ψ_x=\chap{x}↔π$ ?]
-\XXX
-On utilise le fait que $∑ |c_π|< +∞$ car $∑ |h(x)| <+∞$
-pour fonction $h$ dans $𝒮$.
+Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
+de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
+$λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
+On a donc montré l'égalité
+\[
+∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ)
+\]
+pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
+et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$.
+Ceci démontre la formule de Poisson et (i).
+
(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
@@ -2803,35 +2823,33 @@ Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \XXX
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
-de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x o(ψ_x) ⋅ x$,
-où $o(ψ_x)$ désigne l'ordre d'un caractère (\ref{}).
-Il résulte de \ref{Fourier adélique} que la classe
+de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
+où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
+Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
+de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$ \XXX
+et de \ref{définition Pic} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$. Nous allons appliquer la formule
\ref{Poisson-Riemann-Roch} à la fonction
caractéristique $\mathbf{1}$ du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$. Avec
-les notations de \ref{}, $\mathbf{1} = ⨂_x \mathbf{1}_{𝒪_x}$.
+les notations de \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, $\mathbf{1} = ⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que
la transformée de Fourier $ℱ_ψ(\mathbf{1})$
est égale à la fonction
\[
-⨂_x q_x^{-o(ψ_x)/2} \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}} =
-q^{-\deg(𝔠)/2} ⨂_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}}.
+⊠′_x q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}} =
+q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{n(ψ_x)}}.
\]
-Pour tout $a ∈ K^×_𝐀$, le terme de gauche de la formule
-\ref{Poisson-Riemann-Roch} est
-\[
-♯ \big( K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀\big)
-\]
-
-L'intersection $K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
-des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ 𝔞=\div(a)$
+Pour tout $i ∈ K^×_𝐀$, le terme de gauche de la formule
+de Poisson \ref{Fourier adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch} est $\# \big( K ∩ i^{-1}𝒪_𝐀\big)$.
+L'intersection $K ∩ i^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
+des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ 𝔦=\div(i)$
c'est-à-dire telles que les pôles soient d'ordres minorés
par le diviseur $𝔞$. On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
-sa dimension sur $k$, de sorte que $♯ L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
-Le terme de droite de la formule est $q^{\deg(a)-\deg(𝔠)/2} l(𝔠-𝔞)$
-car $|a|=q^{-\deg(a)}$ et …
+sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
+Le terme de droite de la formule est $q^{\deg(i)-\deg(𝔠)/2} l(𝔠-𝔞)$
+car $|i|=q^{-\deg(i)}$ et …
\begin{théorème2}
RR pour les courbes :