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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 18:17:22 +0200 |
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committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 18:17:22 +0200 |
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[LG] début calcul volume idèles corps de nombres
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 22 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 9afaa47..e8ebda4 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -3279,7 +3279,7 @@ dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou \end{remarque2} \begin{remarque2} -Lorsque $K$ est un corps de nombre, on peut montrer +Lorsque $K$ est un corps de nombres, on peut montrer (théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$ se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau @@ -4438,16 +4438,17 @@ théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. \begin{théorème2} Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de -Picard. Alors, - +Picard, isomorphe à $C^{=1}_K/C^{=1}_K(X)$, où $X$ est l'ensemble +des places ultramétriques de $K$. Alors, \[ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×) = \frac{h}{w}× \begin{cases} -\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}\frac{R}{√{|D|}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ +\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ \displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, \end{cases} \] +où $R$ est le régulateur [...] \XXX. \end{théorème2} \begin{démo} @@ -4456,15 +4457,16 @@ La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$ nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$. Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau $𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors -le l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$ +de l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$ et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$. - +Supposons maintenant que $K$ est un corps de nombres. +Le même argument nous ramène à établir l'égalité +$\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K^{×,=1}_𝐀(X) K^×/K^×\big)= +2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂} R/w$, où $X$ désigne l'ensemble des places ultramétriques +de $K$ [...] cf. $𝒪_K^× → K^{×,=1}_𝐀(X)$ isom. modulo compacts etc. \end{démo} -Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53]. -(Il manque peut-être une puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX) - - +%Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53]. \section{Fonctions zêta} |