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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 18:23:51 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-20 18:23:51 +0100
commit4c63d6736cff18c94ab152bb1ce900f76fe2de16 (patch)
tree8a66bf48402ba5ac23ae728935e7bbaacac54670 /chapitres
parentd31e4a7f956f3f07791a56294e657a751373cd1b (diff)
parent3b0abe903e3fa7d7e483d816568c6a0cecf7d146 (diff)
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2012-12-20 (18h23)
Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex25
1 files changed, 25 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index 4909be0..248eac5 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -1542,6 +1542,31 @@ les $i-1$ dernières variables par $0$. (Notamment, une de ces
relations, $q_d$, est donnée par $f(Z_1) = 0$.)
\end{proposition2}
\begin{proof}
+Remarquons tout d'abord que $q_d(Z_1) = f(Z_1)$ et que
+$q_i(Z_1,\ldots,Z_{d-i+1}) = (q_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{d-i-1},Z_{d-i}) -
+q_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{d-i-1},Z_{d-i+1})) / (Z_{d-i}-Z_{d-i+1})$ (cette
+division étant exacte dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]$) : en effet, la
+première affirmation est évidente et la seconde résulte du fait
+correspondant sur les $h_i$, à savoir que $h_i(Z_1,\ldots,Z_n) =
+(h_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{n-1},Z_n) -
+h_{i+1}(Z_1,\ldots,Z_{n-1},Z_{n+1})) / (Z_n - Z_{n+1})$, qui résulte
+lui-même de ce que $(Z_n^{j+1}-Z_{n+1}^{j+1})/(Z_n-Z_{n+1})$ est la
+somme $h_j(Z_n,Z_{n+1})$ de tous les monômes de degré $j$ en
+$Z_n,Z_{n+1}$.
+
+On en déduit l'observation suivante : si $C$ est une $k$-algèbre et si
+on a $f(X) = \prod_{i=1}^d (X - z_i) \in C[X]$ pour certains
+$z_1,\ldots,z_d \in C$, alors $q_i(z_1,\ldots,z_{d-i+1}) = 0 \in C$.
+\XXX
+
+Appelons maintenant $J$ l'idéal engendré par $q_1,\ldots,q_d$, et
+posons $A = k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ et $B = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$. Il est
+clair que $f(X) = \prod_{i=1}^d (X-Z_i) \in A[X]$ en développant le
+membre de droite : en particulier, $q_d$ s'annule dans $A$
+(appartient à $I$), ce qui permet d'écrire $q_d(X) = (X-Z_1)$
+
+\XXX \XXX \XXX
+
Commençons par montrer l'identité suivante sur les polynômes (à
coefficients entiers) :
\[