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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 17:35:34 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2012-11-15 17:35:34 +0100 |
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[Gröbner] Élimination des hypothèses de perfection (suite).
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-rw-r--r-- | chapitres/bases-groebner.tex | 58 |
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diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex index bf2c0c8..6151855 100644 --- a/chapitres/bases-groebner.tex +++ b/chapitres/bases-groebner.tex @@ -1117,10 +1117,11 @@ base de Gröbner réduite $B$ de $I$ n'engendre $I$ ? \begin{proposition2}\label{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps} Soit $I$ un idéal de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ et $B$ une base de Gröbner -(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$. Alors, pour n'importe -quelle extension de corps $K$ de $k$, l'idéal $I \cdot -K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet -encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base de Gröbner réduite). +(resp. la base de Gröbner réduite) de $I$ pour un certain ordre +monomial $\preceq$. Alors, pour n'importe quelle extension de corps +$K$ de $k$, l'idéal $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ dans +$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ admet encore $B$ pour base de Gröbner (resp. base +de Gröbner réduite), pour le même ordre monomial $\preceq$. \end{proposition2} \begin{remarque2} Il est clair que $B$ engendre $I \cdot K[Z_1,\ldots,Z_d]$ dans @@ -1812,25 +1813,28 @@ c_d X_d$, telle que l'idéal complété par cette relation soit en position nette par rapport à $Y$. \begin{proposition2}\label{nettete-projection-generique-dimension-0} -Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où -$k$ est un corps parfait. Soient $C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles -indéterminées, notons $K = k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$ -l'idéal de $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1 -X_1 + \cdots + C_d X_d)$. Alors $\tilde I$ est en position nette par -rapport à $Y$. +Soit $I$ un idéal géométriquement radical de dimension $0$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps quelconque. Soient +$C_1,\ldots,C_d$ et $Y$ de nouvelles indéterminées, notons $K = +k(C_1,\ldots,C_d)$, et soit $\tilde I$ l'idéal de $K[Y, + Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et par $Y - (C_1 X_1 + \cdots + +C_d X_d)$. Alors $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$. \end{proposition2} \begin{proof} Commençons par appeler $\dot I$ l'idéal de $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$. Comme toute base de Gröbner de $I$ constitue une -base de Gröbner de $\dot I$ (pour le même ordre monomial), les -conditions assurant que $I$ est radical de dimension $0$ -(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} et -\ref{critere-seidenberg-ideal-radical}) assurent aussi que $\dot I$ -est radical de dimension $0$. Par ailleurs, le quotient $K[Y, - Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à $K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot -I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$ sur $C_1 X_1 + \cdots + -C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure notamment que $\tilde I$ est -lui ausssi radical de dimension $0$. +base de Gröbner de $\dot I$ +(cf. \ref{bases-de-groebner-et-extensions-de-corps}), les conditions +assurant que $I$ est géométriquement radical de dimension $0$ +(\ref{equivalences-ideaux-affines-dimension-zero} ainsi que +\ref{critere-seidenberg-ideal-radical} et +\ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}) assurent aussi +que $\dot I$ est géométriquement radical de dimension $0$. Par +ailleurs, le quotient $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$ est isomorphe à +$K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, l'isomorphisme consistant à envoyer $Y$ +sur $C_1 X_1 + \cdots + C_d X_d$ (modulo $\dot I$) ; ceci assure +notamment que $\tilde I$ est lui ausssi géométriquement radical de +dimension $0$. Remarquons le fait suivant : si $h \in \dot I$ alors $\frac{\partial h}{\partial C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$. En effet, @@ -1843,7 +1847,7 @@ K[Z_1,\ldots,Z_d]$, et en dérivant cette égalité par rapport à $C_i$ Soit maintenant $f \in K[Y]$ le polynôme unitaire engendrant l'idéal $\tilde I \cap K[Y]$, autrement dit, le polynôme minimal de (l'image -modulo $\tilde I$ de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$. +de) $Y$ dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I$. D'après \ref{critere-seidenberg-ideal-radical-reciproque}, ce polynôme est séparable : on peut donc écrire une relation $f'U + fV = 1 \in K[Y]$. Soit $g \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ défini en substituant $C_1 Z_1 @@ -1852,7 +1856,7 @@ appartient encore à $\tilde I$, et même $\dot I$, puisqu'il s'agit de dire que son image s'annule dans $K[Y, Z_1,\ldots,Z_d]/\tilde I \cong K[Z_1,\ldots,Z_d]/\dot I$, image qui est la même que celle de $f$. D'après le fait remarqué plus haut, on a $\frac{\partial g}{\partial - C_i} = 0$ pour tout $1\leq i\leq d$. Ceci signifie que + C_i} \in \dot I$ pour tout $1\leq i\leq d$. Ceci signifie que $\frac{\partial f}{\partial C_i} + Z_i f'$, une fois substitué $C_1 Z_1 + \cdots + C_d Z_d$ à $Y$, appartient à $\dot I$ (rappelons que $f'$ désigne la dérivée de $f$ par rapport à $Y$). Par conséquent, @@ -1868,12 +1872,12 @@ $\tilde I$ est en position nette par rapport à $Y$. \end{proof} \begin{proposition2}\label{existence-combinaison-lineaire-nette-des-variables} -Soit $I$ un idéal radical de dimension $0$ de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où -$k$ est un corps parfait infini. Alors il existe $c_1,\ldots,c_d \in -k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ engendré par $I$ et $Y - -(c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d)$ soit en position nette par rapport -à $Y$, et plus généralement dans n'importe quelle partie infinie -de $k$ on peut trouver de tels $c_i$. +Soit $I$ un idéal géométriquement radical de dimension $0$ de +$k[Z_1,\ldots,Z_d]$ où $k$ est un corps infini. Alors il existe +$c_1,\ldots,c_d \in k$ tel que l'idéal de $k[Y,Z_1,\ldots,Z_d]$ +engendré par $I$ et $Y - (c_1 Z_1 + \cdots + c_d Z_d)$ soit en +position nette par rapport à $Y$, et plus généralement dans n'importe +quelle partie infinie de $k$ on peut trouver de tels $c_i$. \end{proposition2} \begin{proof} La proposition précédente montre que pour chaque $i$ il existe $F \in |