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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-14 18:34:50 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-14 18:34:50 +0100
commit5562cd3ba7f3c0eff8e3dc45b1472cad5955649d (patch)
tree805dab8dac88ac0a7d2407b6a60e9086b4444768 /chapitres
parent04a6e9425884d2f94f5e8f00484f134dfb96769c (diff)
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[LG] sorite sur l'intégration (mesure quotient etc.)
Pas clair ; à détailler, vérifier, améliorer
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex46
1 files changed, 46 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 402ed6b..05285f6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -443,6 +443,45 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
$\mod_G(φ)=\mod_{G/H}(φ)\mod_H(φ)$
\XXX
+\subsubsection{Mesure quotient et domaine fondamental}
+\label{mesure quotient par groupe discret}
+Soient $G$ un groupe abélien\footnote{inutile \XXX} topologique localement compact,
+muni d'une mesure de Haar $μ$ et $Γ$ un sous-groupe discret tel que le quotient
+$X=G/Γ$ soit compact. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
+que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
+Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
+Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
+un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
+que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. % En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
+% ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.
+Ainsi, il existe un nombre dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
+que $π:G ↠ X=G ∕ Γ$ induise une \emph{injection} $π_{|U_i}$.
+Alors,
+\[
+F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
+\]
+est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
+$F ⥲ X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
+\XXX et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
+En effet, on peut considérer
+la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞_c(X,𝐂)$ ($=𝒞(X,𝐂)$) sur
+\[
+\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ,
+\]
+la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$. \XXX
+On vérifie immédiatement \XXX que lorsqu'une fonction $φ$
+sur $G$ appartient à $𝒞_c(G,𝐂)$ ou bien est mesurable
+à valeurs positives, on a la formule
+\[
+∫_G φ(g) d μ(g) = ∫_X (∑_γ φ(g+γ)) d \dot{μ}(\dot{g}),
+\]
+où la fonction $∑_γ φ(g+γ)$ est vue comme fonction sur $X$.
+La mesure $μ$ étant $G$-invariante, il en est de même de $\dot{μ}$.
+Indépendance du choix de $F$ ⤳ « $μ(X)$ » [...] \XXX
+% Weil [BNT] p. 36.
+% Sur l'existence d'un domaine fondamental quarrable/mesurable,
+% cf. exercice 12, INT chap. VII, §2, p. 114 :.
+%Voir aussi Platonov, Rapinchuk, chap. III.
\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}
@@ -1791,7 +1830,14 @@ compacts.
Sorites.
\end{proposition2}
+Soit $C$ un compact ; il existe un $U$ cofini tel que le support de $f$
+soit contenu dans $K_𝐀(U)$.
+
\subsection{Mesures}
+\label{mesure produit-colimite}
+
+Fonctions continues à support compact sur un produit restreint
+$μ(f)= μ_U(f_U)$ ; indépendance de $U$.
Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
[Saitô], pp. 239--240).