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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 15:26:54 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-23 15:26:54 +0100
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[calculs] Petits demaniements pour la clarté de la section sur les résolvantes.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex102
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 3e98e73..d87e8ba 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -890,7 +890,8 @@ isomorphes.
\subsection{Polynômes invariants}
-La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
+La proposition suivante, qui sera essentielle pour construire des
+résolvantes, assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
@@ -962,11 +963,11 @@ polynôme comme proposé.
\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
-\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
-à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
-les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
-que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit la \emph{résolvante
- relativement à $P$} de $f$ comme
+\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) à
+coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les
+racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ comptées avec
+multiplicité (de sorte que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$). On définit
+la \emph{résolvante relativement à $P$} de $f$ comme
\[
R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
@@ -976,7 +977,7 @@ où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
-$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+$R_P(f)$ appartient, en fait, à $K[X]$.
Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
@@ -987,12 +988,12 @@ R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
\]
totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.
-Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
-un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
-$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
-numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
-la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
-comme
+Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, et en supposant de
+plus que $f$ est séparable, si $\mathfrak{G}$ est un sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois $\Gal(L/K)$ de $f$ (vu
+comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la numérotation
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit la
+\emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$ comme
\[
R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
@@ -1001,23 +1002,33 @@ où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ appartient, en fait, à $K[X]$.
\end{definition2}
-Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
-dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
-effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
-de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
-\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
-
-Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
-symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
-considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
-symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
-considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
-$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
-\in K[X]$). On pourrait définir de façon évidente une résolvante
-générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
+Ces différentes notations ont bien un sens : par exemple, le fait que
+$\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
+(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))$ ne dépende pas du choix
+de l'ensemble des $\sigma$ représentant les classes à gauche
+$\mathfrak{S}_d/H$ découle de ce que
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) =
+P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)})$ si $\tau \in H$
+(puisque $P$ est invariant par $H$).
+
+Le fait que la résolvante générale $R_P$ soit un polynôme totalement
+symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ est clair : on le considérera
+donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions symétriques
+élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de considérer
+$R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant $\sigma_i$ par
+$(-1)^i a_i$, et ceci démontre que $R_P(f) \in K[X]$ comme annoncé.
+
+Le fait que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ soit à coefficients dans $K$ est
+clair puisqu'il est invariant par $\Gal(L/K)$ (en effet, $\Gal(L/K)$
+opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs de $R_P(f)$, et
+aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq \mathfrak{G}$, de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$).
+
+On pourrait définir de façon évidente une résolvante générale
+$R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
totalement symétrique dans les $Z_i$.
@@ -1026,11 +1037,12 @@ totalement symétrique dans les $Z_i$.
\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
- simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
- chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
- $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
+ simplement le polynôme $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ linéaire en $X$ et,
+ pour chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$
+ où $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
- fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
+ fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$ (par
+ exemple, pour $P = Z_1 + \cdots + Z_d$, on a $R_P(f) = X-a_1$).
\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
(Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
@@ -1038,9 +1050,9 @@ totalement symétrique dans les $Z_i$.
discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
\Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$. En
particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
- alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
- inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
- $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
+ alterne} assure que pour $f$ un polynôme séparable, le groupe de
+ Galois de $f$ est inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si
+ et seulement si $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
\QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$. On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
(1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
@@ -1072,8 +1084,9 @@ Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
-dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
-$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors :
+dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur à
+l'intérieur de $\mathfrak{G}$ opérant en permutant les
+indéterminées $Z_i$. Alors :
\begin{itemize}
\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
@@ -1089,11 +1102,16 @@ groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
+Notons comme précédemment $\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de $f$ (de
+sorte que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$) et $L =
+K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ le corps de décomposition.
+
Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$. Alors, comme le
polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ (où $\xi_i$ sont
+les racines de $f$ et $L$ son corps de décomposition) est invariant
par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
admet cette racine dans $K$.
@@ -1105,8 +1123,9 @@ de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
-$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
-définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
+$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$
+l'ensemble des casses à gauche : on définit une application $X \to
+\mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
définie (car si $\tau \in H$ alors
$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
@@ -1126,9 +1145,6 @@ fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
\end{proof}
-\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
-actions des trucs les uns sur les autres.
-
On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans