summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 14:59:11 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 14:59:11 +0100
commit58e69ca83e392a3a3cf4d62b9b951f5e9f796194 (patch)
tree9f40f1fb4e0993b05585112270fb7fc1306fb53e /chapitres
parent2160568e0beeec1363184b643d70b9c7549384b7 (diff)
downloadgalois-58e69ca83e392a3a3cf4d62b9b951f5e9f796194.tar.gz
galois-58e69ca83e392a3a3cf4d62b9b951f5e9f796194.tar.bz2
galois-58e69ca83e392a3a3cf4d62b9b951f5e9f796194.zip
[calculs] Tentative d'éclaircissements pour le degré 5 analogues au degré 4.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex56
1 files changed, 30 insertions, 26 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 0654753..42c2df6 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2563,25 +2563,28 @@ a_2^2 a_3^2 a_4 a_5^2 - 160 a_2^2 a_3 a_4^3 a_5 - 192 a_2^2 a_4^5 -
a_4^2 a_5^3 + 3125 a_2^2 a_5^4 - 1250 a_2 a_3 a_4 a_5^3 - 2000 a_2
a_4^3 a_5^2 + 3250 a_3^2 a_4^2 a_5^2 - 1600 a_3 a_4^4 a_5 + 256 a_4^6
- 9375 a_4 a_5^4$. Cette résolvante sextique admet donc une racine
-si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 +
-a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et
-séparable) a un groupe de Galois inclus dans $\AGL(\FF_5)$. Comme on l'a
-déjà plusieurs fois souligné
-(comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
-et \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise
-normalement pas en pratique une telle expression générale, dont la
-seule fonction est d'impressionner par sa complexité.
-
-L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $\AGL(\FF_5)$,
-donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond
-aux six façons de mettre une structure de $\FF_5$-espace affine (de
-dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on préfère, de partitionner le
-graphe complet sur cinq objets en deux $5$-cycles. Il peut être utile
-de remarquer que $\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six
-objets (en effet, $\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement,
-et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$
-qui ne soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en
-se ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
+$\pi$ dans $k$ si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le
+polynôme $f = X^5 + a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$
+(supposé irréductible et séparable) a un groupe de Galois inclus
+dans un conjugué de $\AGL(\FF_5)$, conjugué qu'on peut supposer être
+exactement $\AGL(\FF_5)$ si on numérote les racines de $f$ de sorte
+que $\pi = P(\xi_1,\ldots,\xi_5)$. Comme on l'a déjà plusieurs fois
+souligné (comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et
+\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise normalement
+pas en pratique une telle expression générale, dont la seule fonction
+est d'impressionner par sa complexité.
+
+L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche
+de $\AGL(\FF_5)$, donc sur les six racines de la résolvante générale
+$R_P$, correspond aux six façons de mettre une structure de
+$\FF_5$-espace affine (de dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on
+préfère, de partitionner le graphe complet sur cinq objets en deux
+$5$-cycles. Il peut être intéressant de remarquer que
+$\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six objets (en effet,
+$\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement, et quitte à
+multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$ qui ne
+soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en se
+ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
que si $f$ a pour groupe de Galois $\mathfrak{A}_5$ (ou évidemment
$\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible
(toujours en supposant qu'elle est séparable). Autrement dit, la
@@ -2592,13 +2595,14 @@ Il est facile de relier $P$ à $Q$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
\sigma_1 \sigma_3 - 3 \sigma_4$ (avec $\sigma_i$ les fonctions
symétriques élémentaires de $Z_1,\ldots,Z_5$), c'est-à-dire que la
résolvante dans $D_5$ relativement à $Q$ vaut $R_{D_5,Q}(f) = X^2 -
-a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est une racine de $R_P(f)$.
-En supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme
-$R_{D_5,Q}(f)$ est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable
-seulement si, le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci
-ne présente qu'un intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon
-probablement déjà testé au préalable si le groupe de Galois de $f$ est
-inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$.
+a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est la racine dans $k$
+de $R_P(f)$ qui témoigne du fait que $G \leq \AGL(\FF_5)$. En
+supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme $R_{D_5,Q}(f)$
+est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable seulement si, le
+groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci ne présente qu'un
+intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon probablement déjà testé
+au préalable si le groupe de Galois de $f$ est inclus dans
+$\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$.