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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 17:27:12 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 17:27:12 +0200
commit60b9d8e60bbc32319871bcf41eb4629cc6396d46 (patch)
treeea8f99bd716781f7515e2b40d046db2476b0d13e /chapitres
parent685d6d08e7519bed91da3812dcff01641c4f7efb (diff)
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[calculs] Sous-groupes de ūĚĒĖ_5.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex36
1 files changed, 36 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index c2bd92b..bd1c70c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2316,6 +2316,42 @@ $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.)
\end{exemple2}
+\subsection{Degré $5$}
+
+Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq sous-groupes
+transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ tout entier
+(d'ordre $120$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un
+groupe $M_{20}$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
+groupe diédral $D_5$ du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe
+cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $M_{20}$ peut être
+défini comme le groupe des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme
+des permutations de cinq objets), ou encore comme engendré par deux
+éléments $t$ (qu'on peut voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$
+sur $\FF_5$) et $s$ (qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux
+relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = M_{20} \cap
+\mathfrak{A}_5$ (au moins à conjugaison près, mais si on identifie les
+sommets du pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet
+ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=1.25em,row sep=2.5ex]{
+&\mathfrak{S}_5&\\M_{20}&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\};
+\draw (diag-1-2) -- (diag-2-1);
+\draw (diag-1-2) -- (diag-2-3);
+\draw (diag-2-1) -- (diag-3-2);
+\draw (diag-2-3) -- (diag-3-2);
+\draw (diag-3-2) -- (diag-4-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+(La notation $M_{20}$ évoque le fait que ce groupe est un groupe
+¬ę¬†m√©tacyclique¬†¬Ľ, en l'occurrence extension de $C_4$ par $C_5$. Il
+existe cependant deux extensions non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ :
+celle dont nous parlons est la seule qui soit incluse
+dans $\mathfrak{S}_5$.)
+
+
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}