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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-02 22:15:02 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-02 22:15:02 +0100
commit6723f5406e698ae767b37e08ca62f1f24c51ef12 (patch)
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[AC, AVD, Dedekind] suite ébauche de plan détaillé.
Il reste encore beaucoup à faire.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/AC.tex10
-rw-r--r--chapitres/AVD.tex456
-rw-r--r--chapitres/Dedekind.tex69
3 files changed, 483 insertions, 52 deletions
diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex
index ca79ded..776302d 100644
--- a/chapitres/AC.tex
+++ b/chapitres/AC.tex
@@ -1226,6 +1226,16 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
Anneau hensélien.
\end{définition2}
+\begin{proposition2}
+Équivalence de catégories $k$-algèbre étale, $A$-algèbres étales.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
+\end{démo}
+
+\subsection{Hensélisation}
+
\section{Fonctions $ζ$}
diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex
index 3e5ee9b..fc8f623 100644
--- a/chapitres/AVD.tex
+++ b/chapitres/AVD.tex
@@ -41,60 +41,365 @@ Anneaux de valuation discrète
\chapter{Anneaux de valuation discrète}
\fi
-\section{}
+\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités}
-\subsection{}
+\subsection{Anneaux de valuation}
+
+\subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux
+
+\begin{théorème2}
+Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ;
+\item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ;
+\item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement
+ordonné pour l'inclusion.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si
+intègre et [...]
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Un anneau de valuation est local, intégralement clos
+dont tout idéal de type fini est principal.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale
+de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation
+de $L$ contenant $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+[AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3]
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre.
+Tout $A$-module sans torsion est plat.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+[AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1]
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Tout $A$-module de présentation fini de torsion
+est isomorphe à un $A$-module de la forme
+\[
+A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14.
+\end{démo}
+
+\subsection{Places}
+
+\subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps,
+$\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Place : $K → \gtilde{k}$.
+\end{définition2}
+
+En conflit avec Weil [BNT].
+
+critère d'intégralité en terme de places.
+
+\subsection{Valuations}
+\XXX
+Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
+Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom).
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+\[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\]
+(Bijection explicite.)
+\end{proposition2}
+
+Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki.
+
+\begin{démo}
+Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Anneaux de valuation discrète}
\begin{proposition2}
\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
\end{proposition2}
+Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
+Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
+(Cas particulier des résultats précédents.)
+
\begin{proposition2}
-\XXX Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
+\XXX
+Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale
+caractéristique, $K=k((t))$.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+\XXX
+Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1.
+\end{démo}
+
+Cas d'égale caractéristique.
+
\begin{proposition2}
-\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète. Un $A$-module
-de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
+Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$.
\end{proposition2}
-\subsection{Valeurs absolues}
+\begin{démo}
+[ANAF], chap. 10, fin §1.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Cas général (Witt).
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
+\end{démo}
+\subsection{Valeurs absolues}\XXX
+Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}
+Cas ultramétrique.
-\subsection{Prolongements}
+\begin{proposition2}
+Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
+satisfaisant l'inégalité triangulaire.
+\end{proposition2}
+
+La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡
+
+Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).
\begin{théorème2}
-\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
-fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
-La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
-libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
-complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
-tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\XXX
+Le théorème d'approximation.
\end{théorème2}
+Cf. Artin [ANAF].
+
+\subsection{Exemples}
+
+Exemple : valuation de Gauß sur $k[X]$.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Ostrowski.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+$k(X)$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Formule du produit
+\end{proposition2}
+
+
+\section{Théorie élémentaire de la ramification}
+
+Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory).
+
+\subsection{Prolongement des valuations}
+
+\subsection{Hensélisation et complétion}
+
+\subsection{Indice de ramification}
+
\begin{définition2}
indice de ramification
\end{définition2}
+\begin{théorème2}
+\XXX
+$L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture
+intégrale de $A=K^+$ dans $L$.
+Alors,
+\[
+∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K].
+\]
+\end{théorème2}
+
\begin{proposition2}
-\XXX Si $L\bo K$ est galoisienne, $v ∘ σ = v$.
+\XXX
+Cas galoisien :
+\[
+efn ≤ [L:K].
+\].
+Cas hensélien :
+\[
+ef ≤ [L:K]
+\]
\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1
+
+\end{démo}
+
+\begin{exemple2}
+\XXX
+Cas inséparable : cf. Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
+\end{exemple2}
+
\begin{définition2}
+\XXX
Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée.
\end{définition2}
+Voir Artin, [ANAF] chap. IV.
+
\begin{proposition2}
-Équivalence de catégories $k$-algèbre étale, $A$-algèbres étales.
+\XXX
+Extension d'Eisenstein.
\end{proposition2}
-[variante : énoncé général à mettre dans [AC].]
+Notamment :
+
+\begin{proposition2}
+\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
+et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
+$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
+est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
+de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
+\begin{itemize}
+\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
+\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
+est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
+et dans $K$. [...]
+Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
+le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
+Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$.
+Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
+$L$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Lemme de Krasner et applications}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Lemme de Krasner (dans cas valué complet).
+\end{proposition2}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX
+Formule de masse de Krasner-Serre (1978) :
+\[
+∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Serre, Œuvres 115.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+$𝐂_p$ est algébriquement clos.
+(Énoncé général.)
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Ax-Sen
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
+\end{démo}
+
+
+\subsection{Sorites}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée).
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Structure du groupe de Galois}
+
+\subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie.
+On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$,
+où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$.
+
+\begin{théorème2}
+Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$
+et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif,
+de noyau un $p$-groupe.
+\end{théorème2}
\begin{démo}
-Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
+\XXX
+Gabber-Ramero, 6.2.12.
\end{démo}
+Théorie de Kummer :
+
+\begin{corollaire2}
+Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$.
+De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$
+tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$.
+\end{corollaire2}
+
+\subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète}
+
+\begin{théorème2}
+\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
+fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
+La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
+libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
+complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
+tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
+\end{théorème2}
+
+
\begin{définition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
@@ -216,6 +521,53 @@ pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
\end{démo}
+\section{Discriminant et différente }
+
+\begin{définition2}
+\XXX
+Différente $𝔇_{L\bo K}$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Artin [ANAF] chap. V.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proposition2}[Euler]
+\XXX
+$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i<n-1$, $=1$ si $i=n-1$.
+(À énoncer sous une forme générale.)
+\end{proposition2}
+
+Cf. Serre [CL], p. 65.
+
+\begin{corollaire2}
+\XXX
+\begin{enumerate}
+\item $𝔇$ divise $(f ′(x))$.
+\item si extension résiduelle séparable, …
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+[ANAF] chap. V.
+
+\begin{proposition2}
+\XXX
+Structure extensions finies résiduellement
+séparable : extension non ramifiée puis extension
+totalement ramifiée (Eisenstein).
+\end{proposition2}
+
+[ANAF] chap. V, th. 8.
+
\section{Puiseux-Newton}
@@ -247,36 +599,14 @@ $$
\end{enumerate}
\end{theoreme2}
-\begin{corollaire2}[Eisenstein]
-\end{corollaire2}
-
-Réciproque.
-
-\begin{proposition2}
-\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
-et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
-$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
-est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
-de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
-\begin{itemize}
-\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
-\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
-est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
-\end{itemize}
-\end{proposition2}
+Remarque : on retrouve le critère d'Eisenstein.
-\begin{proof}
-\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
-et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
-le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
-Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
-$v(a_i)\geq 1$.
-Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
-$L$.
-\end{proof}
\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}
+On explicite ici une conséquence du théorème général
+de structure de $π₁$ modéré (cf. supra).
+
\begin{theoreme2}
\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
@@ -287,6 +617,10 @@ $\Gal_{k((t))} ≃ \chap{𝐙}$.
ex. Hasse, chap. 16.]
\begin{démo}
+Cf. th. général.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
\XXX
Soit $L$ une extension finie galoisienne de
$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
@@ -311,7 +645,41 @@ et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
\section{Extensions cyclotomiques}
-À titre d'exemple.
+\begin{théorème2}
+\XXX
+$𝐐_p(μ_n)\bo 𝐐_p$ est totalement ramifiée et $π=1-ζ$
+est une uniformisante ; $𝒪=𝐐_p[ζ]$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+Serre [CL] p. 85.
+\end{démo}
+
+
+\section{Différentielles}
+
+\begin{théorème2}
+$K=k((t))$.
+$\Res_t(y)=\Res_u(y dt/du)$.
+Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule).
+Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
+la généralisation.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}
+Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
+\end{définition2}
+
+
+
+\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}
+
+Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
\ifx\danslelivre\undefined
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index a6a82b3..8c3e465 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -45,8 +45,24 @@ Anneaux de Dedekind, corps globaux
\subsection{}
+\begin{proposition2}
+Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$.
+Les conditions suivante sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
+\item tout idéal fractionnaire de $A$ est inversible ;
+\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
+le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
+discrète.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+AC, diviseurs p. 217.
+\end{démo}
+
\begin{definition2}
-Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un.
+Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
\end{definition2}
\begin{proposition2}
@@ -61,10 +77,6 @@ où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
\end{proposition2}
-\begin{proposition2}
-Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
-\end{proposition2}
-
\begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension un
et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
@@ -76,12 +88,22 @@ de Dedekind.
p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
\end{démo}
+Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.
+
+\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
+produit d'idéaux premiers.
+
\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}
-\subsection{Places}
+\begin{définition2}
+\XXX
+Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
+\end{définition2}
+
+\subsection{Diviseurs}
\begin{définition2}
-Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc.
+diviseurs, diviseurs effectifs etc.
\end{définition2}
\subsection{Sorites sur la ramification}
@@ -96,6 +118,8 @@ Places, diviseurs, diviseurs effectifs etc.
Différente $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
\end{définition2}
+Lien avec la définition locale.
+
\begin{proposition2}
Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
\end{proposition2}
@@ -138,6 +162,9 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
\end{définition2}
+Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
+p^{φ(n)/(p-1)}$.
+
\begin{lemme2}
\XXX
Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
@@ -163,6 +190,8 @@ variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (
Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]
+Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.
+
\begin{théorème2}
\XXX
Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
@@ -221,16 +250,36 @@ $N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}
\begin{théorème2}
+\XXX
+$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Énoncé dans Weil 2.
+\end{démo}
+
+\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps de fonctions.
Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
\end{théorème2}
\begin{démo}
-Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f).
+Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f)
+ou Weil [BNT] IV. th. 7.
\end{démo}
\subsection{Genre}
+\begin{théorème2}
+$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
+\end{théorème2}
+
+Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.
+
+\begin{définition2}
+$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
+\end{définition2}
+
Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
de $K → ⨁_v K_v/O_v$.
@@ -387,6 +436,10 @@ Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
\subsection{Théorème des unités}
+Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
+de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
+Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
+
\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique