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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 13:47:04 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 13:47:04 +0100
commit677ae6a240d64e7ec98021459ce31158bd1dfa88 (patch)
treea725c8a505f721f5833f71189107aa5152806ccc /chapitres
parent72a9712d1c831afb32145751132bbac1e28f715e (diff)
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galois-677ae6a240d64e7ec98021459ce31158bd1dfa88.zip
[calculs] Changement de notation pour le groupe métacyclique d'ordre 20.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex35
1 files changed, 17 insertions, 18 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index b5b2693..4727686 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2409,14 +2409,14 @@ $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.)
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq sous-groupes
transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ tout entier
(d'ordre $120$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un
-groupe $M_{20}$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
+groupe $\AGL(\FF_5)$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
groupe diédral $D_5$ du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe
-cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $M_{20}$ peut être
+cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $\AGL(\FF_5)$ peut être
défini comme le groupe des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme
des permutations de cinq objets), ou encore comme engendré par deux
éléments $t$ (qu'on peut voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$
sur $\FF_5$) et $s$ (qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux
-relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = M_{20} \cap
+relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap
\mathfrak{A}_5$ (au moins à conjugaison près, mais si on identifie les
sommets du pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet
ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
@@ -2424,7 +2424,7 @@ ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=1.25em,row sep=2.5ex]{
-&\mathfrak{S}_5&\\M_{20}&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\};
+&\mathfrak{S}_5&\\\AGL(\FF_5)&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\};
\draw (diag-1-2) -- (diag-2-1);
\draw (diag-1-2) -- (diag-2-3);
\draw (diag-2-1) -- (diag-3-2);
@@ -2433,18 +2433,17 @@ ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas).
\end{tikzpicture}
\end{center}
-(La notation $M_{20}$ évoque le fait que ce groupe est un groupe
-« métacyclique », en l'occurrence extension de $C_4$ par $C_5$. Il
-existe cependant deux extensions non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ :
-celle dont nous parlons est la seule qui soit incluse
-dans $\mathfrak{S}_5$.)
+(Le groupe $\AGL(\FF_5)$ est « métacyclique », en l'occurrence
+extension de $C_4$ par $C_5$. Il existe cependant deux extensions
+non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ : celle dont nous parlons est la
+seule qui soit incluse dans $\mathfrak{S}_5$.)
On trouve facilement des polynômes dont le stabilisateur dans
-$\mathfrak{S}_5$ est respectivement $M_{20}$, $D_5$ et $C_5$ : pour la
-suite, on posera $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3 + Z_4
-Z_5) + Z_3^2(Z_1 Z_5 + Z_2 Z_4) + Z_4^2(Z_1 Z_2 + Z_3 Z_5) + Z_5^2(Z_1
-Z_4 + Z_2 Z_3)$ (qui a $M_{20}$ pour stabilisateur), $Q = Z_1 Z_2 +
-Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_5$ (qui a $D_5$ pour
+$\mathfrak{S}_5$ est respectivement $\AGL(\FF_5)$, $D_5$ et $C_5$ :
+pour la suite, on posera $P = Z_1^2(Z_2 Z_5 + Z_3 Z_4) + Z_2^2(Z_1 Z_3
++ Z_4 Z_5) + Z_3^2(Z_1 Z_5 + Z_2 Z_4) + Z_4^2(Z_1 Z_2 + Z_3 Z_5) +
+Z_5^2(Z_1 Z_4 + Z_2 Z_3)$ (qui a $\AGL(\FF_5)$ pour stabilisateur), $Q
+= Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_5$ (qui a $D_5$ pour
stabilisateur) et $F = Z_1^2 Z_2 + Z_2^2 Z_3 + Z_3^2 Z_4 + Z_4^2 Z_5 +
Z_5^2 Z_1$ (qui a $C_5$ pour stabilisateur).
@@ -2555,21 +2554,21 @@ a_4^3 a_5^2 + 3250 a_3^2 a_4^2 a_5^2 - 1600 a_3 a_4^4 a_5 + 256 a_4^6
- 9375 a_4 a_5^4$. Cette résolvante sextique admet donc une racine
si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 +
a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et
-séparable) a un groupe de Galois inclus dans $M_{20}$. Comme on l'a
+séparable) a un groupe de Galois inclus dans $\AGL(\FF_5)$. Comme on l'a
déjà plusieurs fois souligné
(comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche}
et \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise
normalement pas en pratique une telle expression générale, dont la
seule fonction est d'impressionner par sa complexité.
-L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $M_{20}$,
+L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $\AGL(\FF_5)$,
donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond
aux six façons de mettre une structure de $\FF_5$-espace affine (de
dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on préfère, de partitionner le
graphe complet sur cinq objets en deux $5$-cycles. Il peut être utile
de remarquer que $\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six
objets (en effet, $\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement,
-et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $M_{20}$
+et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$
qui ne soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en
se ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
que si $f$ a pour groupe de Galois $\mathfrak{A}_5$ (ou évidemment
@@ -2588,7 +2587,7 @@ $R_{D_5,Q}(f)$ est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable
seulement si, le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci
ne présente qu'un intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon
probablement déjà testé au préalable si le groupe de Galois de $f$ est
-inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = M_{20} \cap \mathfrak{A}_5$.
+inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$.