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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 13:38:20 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-05-04 13:38:20 +0200
commit6a48a04c5648ee2f488c342082009b12df07b2b0 (patch)
tree8770adf49857874ff2bd63fb75cb6532bce4ec34 /chapitres
parentbca66de0f326ac180b57976b19c70f286ac8ed42 (diff)
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galois-6a48a04c5648ee2f488c342082009b12df07b2b0.zip
[calculs] Je capitule sur cette question en général.
Je rédige de façon à ne pas me mouiller.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex22
1 files changed, 14 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index fc21977..fa11e10 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1158,10 +1158,10 @@ n'appartient pas à $K$, c'est-à-dire que la conclusion ($*$) ne tient
pas.
\end{remarque2}
-Dans le cas où l'extension $L\bo K$ est séparable (donc galoisienne),
-la théorie de Galois fournit un critère simple et intuitif pour
-répondre à la
-question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} :
+Le cas de la
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} qui nous
+intéressera particulièrement est celui où $L\bo K$ est séparable (donc
+galoisienne). Dans ce cas, on a une réponse simple à la question :
\begin{proposition2}
Sous les conditions de la
question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants},
@@ -1173,7 +1173,7 @@ les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
\begin{proof}
Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$
-opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+opérant en permutant les $Z_i$, ce qui implique que
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
@@ -1193,9 +1193,11 @@ $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois
de $f$.
\end{proof}
-Pour trouver une réponse à la question dans le cas de l'extraction
-d'une racine $p^e$-ième en caractéristique $p$, on aura besoin du
-résultat classique suivant :
+Même si cela ne présente guère d'intérêt pour les applications, nous
+donnons aussi une réponse à la
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} pour le
+cas de l'extraction d'une racine $p^e$-ième en caractéristique $p$.
+Pour cela, on aura besoin du résultat classique suivant :
\begin{proposition2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe
@@ -1248,6 +1250,10 @@ pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de
degré $p^e$.
\end{proof}
+\XXX L'auteur de ces lignes ne connaît pas de critère simple répondant
+à la question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} dans
+le cas général.
+
\subsection{Résolvantes}
\begin{definition2}\label{definition-resolvante}