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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-23 13:46:35 +0100 |
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[AC,AVD,Dedekind,plan] création deux fichiers et début de plan détaillé (+copié-collé)
Tout ce qui est copié-collé sera à réécrire totalement ;
ces énoncés/démonstrations commencent par un \XXX
J'aurais pu les commenter mais cela peut faire un bon point
de départ.
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diff --git a/chapitres/AC.tex b/chapitres/AC.tex index 815480d..3aa018d 100644 --- a/chapitres/AC.tex +++ b/chapitres/AC.tex @@ -158,7 +158,26 @@ finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. \end{démo} +\subsection{Conditions locales sur les modules} +\begin{proposition2} +Un module localement nul est nul. +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Module localement libre. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +Groupe de Picard ; lien avec les idéaux fractionnaires [à déplacer +sans doute]. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Passage à la limites : si $A$ intègre, corps des fractions $K$ +et $M ⊗ K ≃ N ⊗ K$ avec $M,N$ de type fini, il existe $a$ +tel que $M ⊗ A[a^{-1}] ≃ N ⊗ A[a^{-1}]$. +\end{proposition2} \section{L'espace topologique $\Spec(A)$} @@ -213,6 +232,8 @@ Conditions équivalentes : \begin{enumerate} \item existence inverse ponctuel ; \item tout $A$-module est plat ; +\item tout idéal principal est idempotent ; +\item tout idéal de type fini est facteur direct ; % Atiyah-MacDonald, chap. 2, exercice 27 \item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ; \item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps. \end{enumerate} @@ -222,6 +243,8 @@ Conditions équivalentes : anneau absolument plat. \end{définition2} +Exemple : algèbre de Boole. + \begin{théorème2}[Chevalley] Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$ @@ -243,7 +266,13 @@ est ouverte. \section{Quelques conditions de finitude} -fini, type fini, présentation finie. +fini, type fini, présentation finie, longueur finie. +nœthérien, artinien, Jordan-Hölder. + +\begin{proposition2} +Un anneau est artinien si et seulement si il est nœthérien de +dimension nulle (càd ...). +\end{proposition2} \section{Éléments et morphismes entiers} @@ -1170,6 +1199,11 @@ pas complète. Lemme de Nakayama \end{proposition2} +\begin{corollaire2} +$\chap{M}$ est séparé pour la topologie $𝔪$-adique si $A$ est +nœthérien, $M$ de type fini. +\end{corollaire2} + \begin{proposition2} Artin-Rees. \end{proposition2} @@ -1179,6 +1213,18 @@ Exactitude dans le cas nœthérien. Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini). \end{proposition2} +\begin{proposition2} +Lemme de Hensel. +\end{lemme2} + +\begin{proposition2} +Les conditions suivantes sont équivalentes : +[...] +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Anneau hensélien. +\end{définition2} \section{Fonctions $ζ$} diff --git a/chapitres/AVD.tex b/chapitres/AVD.tex new file mode 100644 index 0000000..5816e09 --- /dev/null +++ b/chapitres/AVD.tex @@ -0,0 +1,307 @@ +\ifx\danslelivre\undefined +\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\input{../configuration/commun} +\input{../configuration/smf} +\input{../configuration/adresse} +\input{../configuration/gadgets} +\input{../configuration/francais} +\input{../configuration/numerotation} +\input{../configuration/formules} +\input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{srcltx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +\usetikzlibrary{calc} + +\title{titre} + +\externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{formes-tordues} +\externaldocument{spectre} +\externaldocument{verselles} +\externaldocument{corps-finis} +\externaldocument{entiers} +\externaldocument{categories} + +%\textwidth16cm +%\hoffset-1.5cm +\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} + +\begin{document} +\begin{center} +titre +\end{center} +\tableofcontents +\else +\chapter{titre} +\fi + +\section{} + +\subsection{} + +\begin{proposition2} +\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de +valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes] +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +\XXX Deux AVD de même corps des fractions sont égaux. +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète. Un $A$-module +de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion. +\end{proposition2} + +\subsection{Valeurs absolues} + + +\subsection{Prolongements} + +\begin{théorème2} +\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des +fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}. +La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module +libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète +complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$, +tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$. +\end{théorème} + +\begin{définition2} +indice de ramification +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +\XXX Si $L\bo K$ est galoisienne, $v ∘ σ = v$. +\end{proposition2} + +\begin{définition2} +Extension totalement ramifiée. +\end{définition2} + +\begin{définition2} +\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$, +$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$ +et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$. +Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$, +$$ +G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\} +$$ +Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment +une filtration décroissante de $G$. +\end{définition2} + +[généralisation : cas extension résiduelle séparable.] + +\begin{exercice2} +Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine +et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points +fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$. +\end{exercice2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$, +$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$. +\begin{enumerate} +\item $G_0\iso G$, +\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$, +\item L'application +$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto +\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du +choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique +$$ +G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L. +$$ +\item On a des isomorphismes canoniques : +$$ +\begin{array}{l} + U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\ + U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1} +\end{array} +$$ +pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{démo} +\XXX +\begin{proof} +1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$. +Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$ +induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car +$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad +$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$. +Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$, +réciproquement, si $\sigma\in G_i$, +pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$. + +2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité +$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big), +$$ +où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer +que $G_i\subset G$ est un sous-groupe. + +3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité +$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de +l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité +$$ +\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}. +$$ +jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc +$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est +bien indépendante du choix de l'unité $u$. + +Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte +que pour chaque $\sigma'\in G_i$, +$$ +\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}= +\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L. +$$ +Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, +l'égalité +$$ +\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)} +\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L} +$$ +entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son +noyau est par définition $G_{i+1}$. + +4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit +un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$. +Enfin, +$$ +\begin{array}{l} +U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\ +1+x\mapsto x +\end{array} +$$ +est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite). +Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace +vectoriel de dimension $1$. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +\XXX +Sous les hypothèses précédentes : +\begin{enumerate} +\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$, +\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique. +\end{enumerate} +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +\XXX +Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique +et d'ordre premier à la caractéristique. + +Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe +fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$, +pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)- +\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$. +\end{démo} + + + +\section{Puiseux-Newton} + +\subsection{Polygone de Newton} +\begin{definition2}[Polygone de Newton] +\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$ +un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton} +l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus +des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$. +\end{definition2} + + +\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton] +\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète +complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$. +Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant +celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets +du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors, +$$ +f=g_1\cdots g_r +$$ +où : +\begin{enumerate} +\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$, +\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue : +$$ +v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}. +$$ +\end{enumerate} +\end{theoreme2} + +\begin{corollaire2}[Eisenstein] +\end{corollaire2} + +Réciproque. + +\begin{proposition2} +\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions, +et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans +$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension +est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante +de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a : +\begin{itemize} +\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, +\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$ +est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local. +\end{itemize} +\end{proposition2} + +\begin{proof} +\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ +et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$, +le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}). +Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que +$v(a_i)\geq 1$. +Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions +$L$. +\end{proof} + +\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée} + +\begin{theoreme2} +\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. +Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$ +\end{theoreme2} + +[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte] + +\begin{démo} +\XXX +Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où +$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier +$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire +précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$. +Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines +de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne +de groupe $\mu_n(k)$. +Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ : +$$ +\xymatrix{ +L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\ +K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u] +} +$$ +L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique. +Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$. +Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$ +et finalement $K\sep=\cup_n K_n$. +\end{démo} + + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex new file mode 100644 index 0000000..2b1683e --- /dev/null +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -0,0 +1,268 @@ +\ifx\danslelivre\undefined +\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} +\input{../configuration/commun} +\input{../configuration/smf} +\input{../configuration/adresse} +\input{../configuration/gadgets} +\input{../configuration/francais} +\input{../configuration/numerotation} +\input{../configuration/formules} +\input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{srcltx} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +\usetikzlibrary{calc} + +\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} + +\externaldocument{extensions-algebriques} +\externaldocument{correspondance-galois} +\externaldocument{formes-tordues} +\externaldocument{spectre} +\externaldocument{verselles} +\externaldocument{corps-finis} +\externaldocument{entiers} +\externaldocument{categories} + +%\textwidth16cm +%\hoffset-1.5cm +\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} + +\begin{document} +\begin{center} +Anneaux de Dedekind, corps globaux +\end{center} +\tableofcontents +\else +\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} +\fi + +\section{Anneaux de Dedekind} + +\subsection{} + +\begin{definition2} +Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un. +\end{definition2} + +\begin{proposition2} +\XXX +Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$ +et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$, +tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ +De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si +$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$, +où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) +pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). +\end{proposition2} + +\begin{proposition2} +Tout idéal fractionnaire non nul est inversible. +\end{proposition2} + +\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats} + +\section{Théorèmes de finitude} + +\subsection{Finitude du groupe de Picard} + +\begin{theoreme2} +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau +des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. +\end{theoreme2} + +[variante dans le cas d'égale caractéristique.] + +\begin{démo} +\XXX +Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. +Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. +Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse +supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. +Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois +les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier +$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, +il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. + +Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte +du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. +Admettons un instant le fait suivant : +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il +existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. +\end{quote} +Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. +et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe +un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ +(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors +$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. +Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un +$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ +car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). +Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons +$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. +Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ +Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ +tel que +$$ +m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. +$$ +Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe +deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence +appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que +$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. +\end{démo} + +\subsection{Théorème des unités} + +\begin{lemme2} +\XXX +Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique +$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers +est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ +engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. +\end{lemme2} + +\begin{proof} +\XXX +On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension +$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$. +Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ +consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base +par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base +du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation +à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}. +\end{proof} + +\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet] +\XXX +Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que : +$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ +Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$ +est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$. +\end{thm} + +\begin{proof} +\XXX +\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}. +Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$ +et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent +un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite) +$$ +\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}. +$$ +Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→ +\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$. + + +Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, +est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1}) += \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$. +Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance +$$ +\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}. +$$ +Cela résulte de l'égalité +$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$, +jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit +des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$ +(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc +l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que +le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme +des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant. + +Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$ +de toute partie bornée est \emph{finie}. +Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement +$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit +bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ +est bornée. +Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes, +sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$. +Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients +du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers, +il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement +pour $e\in 𝒪_K$. + +Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ +tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}), +de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$. + +Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}. + +Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$. + +\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien] +Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$ +tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$. +\end{quote} + +Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut. + +\begin{quote} +Il existe une constante $\mu_K$ +telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant : +$$\left\{ \begin{array}{l} +\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\ +\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K +\end{array}\right.$$ +\end{quote} + +Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs +satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$. +Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons : +$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times +\CC^{r_\CC},\ +\left\{ \begin{array}{l} +|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\ +|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha} +\end{array}\right.\} +$$ +(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.) + +On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et +le produit est muni de la mesure produit. +L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est +fermée (donc mesurable), symétrique par rapport +à l'origine et convexe. Son volume est +$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$ +Soit $\mu_K>0$ une constante telle que +$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} +\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ +À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que +$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, +\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. +Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour +ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les +conditions du lemme. + +Démontrons le «~lemme chinois~». +Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu +du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les +normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent +strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe +$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour +une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme. + +\begin{quote} +Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$, +ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients +sur une ligne soit nulle. +Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$. +\end{quote} + +\end{proof} + + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{../configuration/bibliographie-livre} +\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} +\end{document} +\fi |