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Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$, $$ @@ -316,7 +316,7 @@ naturelle : \begin{remarque2} Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution -de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général +de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus. Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX %[DÉTAILLER] @@ -389,9 +389,9 @@ et l'on a : $$ \log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1). $$ -Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; +Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}). -L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. +L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$. Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, $\zeta_{A_F}$ coïncide avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind. @@ -410,11 +410,11 @@ on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des g \begin{lemme2}\label{Frob_1} Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines : $X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in -\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \got{S}_d$, +\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe $S\leq \mathfrak{S}_d$, il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions suivantes : \begin{enumerate} -\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. +\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. \item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq s' S$. \end{enumerate} @@ -448,13 +448,13 @@ pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme. \end{proof} -\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons : +\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons : $$ -f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X]. +f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X]. $$ C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$, défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant -les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche). +les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche). Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$ leurs discriminants respectifs. Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers @@ -465,10 +465,10 @@ sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[ et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors -les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$. +les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$. Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à -une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est +une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit : $$ \begin{array}{ll} @@ -480,7 +480,7 @@ $$ $$ On en tire : $$ -N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}. +N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}. $$ Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également @@ -489,58 +489,59 @@ que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités. Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans -$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente +$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente se réécrit : $$ (\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}. $$ \subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$. -Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme : -$$ -\xymatrix{ -\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\ -& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\ -\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & -} -$$ +Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme : +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\ +%& \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\ +%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & +%} +%$$ En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$ est $$ c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}. $$ -%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte : -%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme +%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte : +%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme %de corps. Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de $\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont des racines de $f_S$ : $\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$, -pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$, +pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$, la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1}, -pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$. +pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$. Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection. En vertu de la formule précédente, les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$ sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S= \frac{g_f}{g_{e,S}}$. Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$ -Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité, +Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité, on obtient : $$ -\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f, +\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f, $$ où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$. En regroupant par type : $$ \sum_{\lambda} -\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f +\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f \textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}. $$ où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$ -ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$, +ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$, les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$ et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$. @@ -575,14 +576,14 @@ $$ \subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence. -Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ : +Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ : $$ \lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient l'inégalité opposée}. $$ Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément maximal le type d'un $d$-cycle. -Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$ +Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$ le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance), l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient : diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex index eaffa31..817bf42 100644 --- a/chapitres/Dedekind.tex +++ b/chapitres/Dedekind.tex @@ -1,25 +1,9 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\synctex=1 -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usetikzlibrary{calc} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Anneaux de Dedekind, corps globaux} - \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} @@ -28,15 +12,8 @@ \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} - -%\textwidth16cm -%\hoffset-1.5cm -\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} - \begin{document} -\begin{center} -Anneaux de Dedekind, corps globaux -\end{center} +\maketitle \tableofcontents \else \chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux} @@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}. \begin{proposition2} \XXX -Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. -Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$ +Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$. +Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$ et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$, -tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$ -De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si -$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, -où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$) -pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$). +tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$ +De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si +$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$, +où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$) +pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$). \end{proposition2} \begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫 @@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b \end{démo} \begin{définition2} -Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$. +Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$. \end{définition2} Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} @@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$. \begin{lemme2} \XXX -Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$. +Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$. \end{lemme2} \begin{démo} @@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente. \begin{theoreme2} \XXX Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau -des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini. +des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini. \end{theoreme2} \begin{démo} \XXX -Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. -Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$. +Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$. +Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$. Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse -supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$. -Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois +supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$. +Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier $p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, -il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. +il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$. -Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte +Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous. Admettons un instant le fait suivant : \begin{quote} -Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il -existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$. +Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il +existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$. \end{quote} -Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$. -et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe -un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$ +Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$. +et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe +un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$ (cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors -$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$. +$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$. Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$ car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}). Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons $\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$. Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$ -Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ +Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$ tel que $$ -m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d. +m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d. $$ Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence -appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que -$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD. +appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que +$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD. \end{démo} \begin{théorème2} @@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble $$ -\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in -\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\} +\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in +\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\} $$ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$. \end{théorème2} \begin{démo} \XXX -Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. +Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$. La correspondance $$ -\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K +\mathfrak{a} \mapsto (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K $$ établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et $$ -\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ -|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}. +\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ +|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}. $$ Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention. Négliger les unités revient à considérer l'ensemble -quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, +quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$, où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie -en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. +en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$. C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel -la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ +la norme $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$ se factorise. Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter $$ -\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. -$$ -Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur -$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : -$$ -\xymatrix{ -\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ -X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} -} -$$ -Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, +\{ x \in P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}. +$$ +Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur +$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ : +\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!} +%$$ +%\xymatrix{ +%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\ +%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR} +%} +%$$ +Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$, dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement arbitraire. On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie -$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte +$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle -que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ +que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$ soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$. Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$. @@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$. Ainsi, le logarithme induit une injection : -$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. +$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$. Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert @@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2. \XXX Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique $K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers -est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ +est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$ engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants. \end{lemme2} @@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} \mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$ À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que $\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$, -\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. +c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$. Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les conditions du lemme. @@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude groupe de Picard. Il suffit de démontrer l'inégalité : $$ -\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, +\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!}, $$ où $n=[K:\QQ]$. Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$. @@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que $$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$ Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$, $$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA) - \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$ + \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$ il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$. L'inégalité en résulte immédiatement. @@ -738,7 +716,7 @@ $$ Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$, et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire, $\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc, -la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. +la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$. Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$, on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$. diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex index 02484b5..0959b50 100644 --- a/chapitres/RT.tex +++ b/chapitres/RT.tex @@ -1,33 +1,13 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} - -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -%\usepackage{makeidx} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant -%\usepackage{pxfonts} - -\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Extensions radicielles et transcendantes} \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder \externaldocument{categories} \externaldocument{entiers} \externaldocument{KAS} -%\makeindex - -\title{Extensions radicielles et transcendantes} - \begin{document} \maketitle \tableofcontents @@ -169,7 +149,7 @@ et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous. (ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}. \end{démo} - \begin{proposition}\label{union-entiers=entier} + \begin{proposition2}\label{union-entiers=entier} Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que $A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$ où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$. @@ -178,7 +158,7 @@ $(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈ morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également entier. -\end{proposition} +\end{proposition2} Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}. @@ -220,7 +200,7 @@ composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif. \begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique} \begin{enumerate} -\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute +\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe si et seulement si toute sous-famille finie est linéairement disjointe. \item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies. @@ -243,7 +223,7 @@ est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi. \begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps} Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}. -Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel +Elle est linéairement disjointe si et seulement si le produit tensoriel $⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}. \end{lemme2} @@ -369,7 +349,7 @@ nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème. \end{démo} -\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite} +\begin{lemme2}\label{frac-preserve-integrite} Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre intègre. \begin{enumerate} @@ -377,7 +357,7 @@ intègre. \item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de $B$ dans son corps des fractions. \end{enumerate} -\end{lemme3} +\end{lemme2} \begin{démo} (i) Cf. \ref{corollaire localisation}. @@ -412,12 +392,12 @@ galoisienne de groupe $G$. Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé. Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$. -D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre +D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n_i}$ (prendre $n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe -$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps +$G=∏_{i∈I} \mathfrak{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et -$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables). -L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$ +$k_i=\Fix_{\mathfrak{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables). +L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_{n_i}$ (\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part, d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer diff --git a/chapitres/produit-tensoriel.tex b/chapitres/produit-tensoriel.tex index a786888..42e1b3c 100644 --- a/chapitres/produit-tensoriel.tex +++ b/chapitres/produit-tensoriel.tex @@ -1,23 +1,10 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} \title{Produit tensoriel} -\setcounter{tocdepth}{3} -%\setcounter{secnumdepth}{2} -%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition} - +%%% \begin{document} \maketitle \tableofcontents @@ -32,7 +19,7 @@ \subsubsection{Définition} -\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire} +\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien. On dit qu'une application $f\colon M × N \to P$ est @@ -45,9 +32,9 @@ $A$-\emph{bilinéaire} lorsque : \item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$, on a $f(xa,y) = f(x,ay)$. \end{itemize} -\end{definition3} +\end{definition2} -\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel} +\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche. On dit qu'un groupe abélien $P$ muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est @@ -57,7 +44,7 @@ groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}). -\end{definition3} +\end{definition2} Avant de prouver (dans la proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le @@ -68,7 +55,7 @@ de leurs bases (on verra en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même des modules libres en général) : -\begin{exemple3} +\begin{exemple2} Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$ et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement $(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$. Soit $E \otimes_k F$ l'espace @@ -84,7 +71,7 @@ $k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de $(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$. -\end{exemple3} +\end{exemple2} (Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera @@ -96,7 +83,7 @@ ces dimensions.) \subsubsection{Existence et fonctorialité} -\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel} +\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche. Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si @@ -104,7 +91,7 @@ $(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi' = h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette condition). -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la @@ -137,7 +124,7 @@ s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b \end{proof} L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir : -\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel} +\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un @@ -154,14 +141,14 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel. (Il s'agit de l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.) -\end{convention3} +\end{convention2} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x \otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$ dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}. @@ -183,14 +170,14 @@ notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$. On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel : -\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel} +\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à gauche. Alors il existe une unique application additive $h\colon M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x) \otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété @@ -205,29 +192,29 @@ universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en question.) -\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications} +\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-applications} Dans les conditions et avec les notation de la propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h = f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel des morphismes $f$ et $g$. Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi $f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f = \Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$). -\end{definition3} +\end{definition2} -\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition} +\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$ et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à gauche. Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ (f\otimes g)$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel d'applications. \end{proof} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire @@ -235,7 +222,7 @@ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules g$ est surjective. De plus, son noyau est engendré (en tant que groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in \Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les $x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes @@ -261,7 +248,7 @@ M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h = \subsubsection{Cas des bimodules} Pour cette section, nous rappelons la définition suivante : -\begin{definition3} +\begin{definition2} Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un \emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui @@ -276,7 +263,7 @@ $A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$) et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de $M$ et $N$). Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux. -\end{definition3} +\end{definition2} De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un @@ -284,7 +271,7 @@ $(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite (resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire (resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire. -\begin{remarque3}\label{hom-bimodules} +\begin{remarque2}\label{hom-bimodules} Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un $(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications @@ -299,9 +286,9 @@ structure de $(B,C)$-bimodule. En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble $\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$ n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien. -\end{remarque3} +\end{remarque2} -\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules} +\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire-bimodules} Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un $(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule : on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque @@ -317,9 +304,9 @@ en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto \Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est $(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de $(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit. -\end{definition3} +\end{definition2} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules} Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un $(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule. Il existe alors une unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M @@ -333,7 +320,7 @@ de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$ @@ -365,7 +352,7 @@ droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à gauche de façon naturelle. -\begin{remarque3} +\begin{remarque2} On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de @@ -375,9 +362,9 @@ xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M \otimes_B N$. -\end{remarque3} +\end{remarque2} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications} Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement $(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules @@ -385,7 +372,7 @@ $M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$. Si l'on munit $M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors $f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la @@ -403,12 +390,12 @@ fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$. La $C$-linéarité de $f\otimes_B g$ se démontre de même. \end{proof} -\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules} +\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules} Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un $(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de $(A,C)$-bimodule définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}. -\end{convention3} +\end{convention2} \subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} @@ -422,7 +409,7 @@ cela, on fait la définition suivante, qui généralise \ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} : -\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire} +\begin{definition2}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$, @@ -443,7 +430,7 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque : \item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$. \end{itemize} -\end{definition3} +\end{definition2} On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de @@ -451,7 +438,7 @@ $M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$. Remarquons qu'utiliser $\ZZ$ pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière des conditions ci-dessus. -\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules} +\begin{remarque2}\label{multihom-bimodules} L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien. En revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble @@ -481,12 +468,12 @@ multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to ((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$. (Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le cas $n=3$.) -\end{remarque3} +\end{remarque2} La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel} et \ref{produit-tensoriel-bimodules} (cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) : -\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel} +\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application @@ -497,14 +484,14 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$ il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$. -\end{definition3} +\end{definition2} Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir le lemme suivant : -\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus} +\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$. Si $(P',\varphi')$ @@ -518,7 +505,7 @@ M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto \varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors $(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$. -\end{lemme3} +\end{lemme2} \begin{proof} L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que @@ -592,7 +579,7 @@ peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$ définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'', Z'\mathbin{\flat}Z'')$. -\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel] +\begin{proposition2}[associativité séquentielle du produit tensoriel] Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens @@ -610,7 +597,7 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}, $\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant $(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé identiquement. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la @@ -646,7 +633,7 @@ M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de $M_1,\ldots,M_n$. \end{proof} -\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel} +\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel} Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$, @@ -665,9 +652,9 @@ l'application ($\tilde f$ avec les notatons de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans ce cadre. -\end{convention3} +\end{convention2} -\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel} +\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application $(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre @@ -682,7 +669,7 @@ $M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des parenthésages complets identiques des expressions formelles en question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la @@ -704,7 +691,7 @@ connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage. Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots \otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit. -\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition} +\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i @@ -712,7 +699,7 @@ $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) = (f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots \otimes f_n)$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel d'applications. @@ -728,7 +715,7 @@ supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de $M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc le groupe abélien sous-jacent) : -\begin{proposition3} +\begin{proposition2} Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$. Notons $P = M_1 \otimes \cdots @@ -743,7 +730,7 @@ pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de $M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par $x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes @@ -807,7 +794,7 @@ contrainte qu'on lui impose. Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident. Les propositions précédentes permettent de conclure que : -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif} Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules. Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes @@ -821,29 +808,29 @@ M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties par la définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel) est $A$-linéaire. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}. \end{proof} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications} Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules. Si l'on munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors $f\otimes_A g$ est $A$-linéaire. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}. \end{proof} -\begin{convention3} +\begin{convention2} Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}. -\end{convention3} +\end{convention2} Les résultats de la section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de @@ -871,7 +858,7 @@ celui défini jusqu'à présent. On rappelle : -\begin{definition3} +\begin{definition2} Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1 \buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée @@ -889,7 +876,7 @@ M_3 \to 0$. On définit de façon analogue les notions de suite exacte de $A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non nécessairement commutatifs. -\end{definition3} +\end{definition2} Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier $f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à l'injectivité de $f_2$. Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas @@ -902,14 +889,14 @@ g = \Im f$. Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence de $0$ à gauche de la seconde suite : -\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel} +\begin{proposition2}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel} Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement commutatif. Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite $M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over \rightarrow M\otimes_A N \buildrel g\otimes N\over \rightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est exacte. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de @@ -936,7 +923,7 @@ module \emph{plat}. \XXX \subsubsection{Distributivité sur les sommes directes} -\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes} +\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un $A$-module à gauche. Alors : \begin{itemize} @@ -952,7 +939,7 @@ Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules. De plus, on a les mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du produit tensoriel. -\end{proposition3} +\end{proposition2} \begin{proof} Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par $y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application @@ -980,7 +967,7 @@ $\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$. La conséquence suivante est immédiate : -\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe} +\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe} Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble. Alors l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un @@ -998,9 +985,9 @@ l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$ sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et $(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$ et $A^{(I\times J)}$. -\end{corollaire3} +\end{corollaire2} -\begin{remarque3} +\begin{remarque2} Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right) @@ -1010,9 +997,9 @@ en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}. Cependant, même dans le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif, l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni surjective ni même injective. \XXX -\end{remarque3} +\end{remarque2} -\begin{remarque3} +\begin{remarque2} Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)} \buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice @@ -1024,7 +1011,7 @@ que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f \otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$. Ceci fournit une méthode systématique pour « calculer » les produits tensoriels. -\end{remarque3} +\end{remarque2} \subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif} |