Transformation en LuaTeX : chapitres oubliés, decorum, livre complet.

4 files changed, 183 insertions, 237 deletions

diff --git a/chapitres/Cebotarev.tex b/chapitres/Cebotarev.tex
index 1a5474f..4fa0d39 100644
--- a/chapitres/Cebotarev.tex
+++ b/chapitres/Cebotarev.tex
@@ -153,7 +153,7 @@ d'Eisenstein.
 \label{Sd-par-2-3-l}
 Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
 de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
-$\got{S}_d$.
+$\mathfrak{S}_d$.
 \end{proposition2}
 
 \begin{démo}
@@ -284,10 +284,10 @@ De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. \ref{Sd-par-2-3-l})
 \subsection{Énoncé du théorème}
 
 \begin{définition2}
-Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
+Un ensemble $\mathscr{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
 $\delta$ si 
 $$
-\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
+\frac{\sum_{p\in \mathscr{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
 $$
 en $s=1$.
 \end{définition2}
@@ -299,8 +299,8 @@ Cf. chapitre précédent \refext{}{}.
 
 \begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
 Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
-Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
-Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
+Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \mathfrak{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
+Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
 une partition de $d$.
 Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
 $$
@@ -316,7 +316,7 @@ naturelle :
 \begin{remarque2}
 Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
 de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
-de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général 
+de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général 
 plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
 Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX
 %[DÉTAILLER]
@@ -389,9 +389,9 @@ et l'on a :
 $$
 \log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
 $$
-Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; 
+Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; 
 c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
-L'inclusion $A_F→ \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
+L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
 Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, 
 $\zeta_{A_F}$ coïncide
 avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
@@ -410,11 +410,11 @@ on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des g
 \begin{lemme2}\label{Frob_1}
 Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
 $X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
-\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe  $S\leq \got{S}_d$,
+\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe  $S\leq \mathfrak{S}_d$,
 il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
 suivantes :
 \begin{enumerate}
-\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. 
+\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. 
 \item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
  s' S$.
 \end{enumerate}
@@ -448,13 +448,13 @@ pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d
 tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
 \end{proof}
 
-\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
+\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
 $$
-f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
+f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
 $$
 C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
 défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant 
-les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
+les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
 Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$ 
 leurs discriminants respectifs.
 Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
@@ -465,10 +465,10 @@ sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[
 et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ 
 les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
 racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
-les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
+les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$.
 Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
 ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à 
-une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est 
+une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est 
 dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
 $$
 \begin{array}{ll}
@@ -480,7 +480,7 @@ $$
 $$
 On en tire :
 $$
-N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
+N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
 $$
 Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
 de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
@@ -489,58 +489,59 @@ que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.
 
 Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
 de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans 
-$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
+$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
 se réécrit :
 $$
 (\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
 $$
 
 \subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
-Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
-$$
-\xymatrix{
-\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
-&  \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
-\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & 
-}
-$$
+Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
+%&  \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
+%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & 
+%}
+%$$
 En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si 
 il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
 est 
 $$
 c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
 $$
-%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte : 
-%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
+%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte : 
+%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
 %de corps.
 Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de 
 $\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
 des racines de $f_S$ : 
 $\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
-pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
 la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
-pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
+pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$.
 Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
 En vertu de la formule précédente, 
 les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
 sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
 \frac{g_f}{g_{e,S}}$.
 Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
-Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
+Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité,
 on obtient :
 $$
-\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
+\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
 $$
 où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
 En regroupant par type :
 $$
 \sum_{\lambda} 
-\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
+\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
 \textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
 $$
 où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
 les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
-ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
+ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
 les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
 et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.
 
@@ -575,14 +576,14 @@ $$
 
 \subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
 variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
-Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
+Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ :
 $$
 \lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient 
 l'inégalité opposée}.
 $$
 Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
 maximal le type d'un $d$-cycle.
-Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
+Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
 le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
 de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
 l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
diff --git a/chapitres/Dedekind.tex b/chapitres/Dedekind.tex
index eaffa31..817bf42 100644
--- a/chapitres/Dedekind.tex
+++ b/chapitres/Dedekind.tex
@@ -1,25 +1,9 @@
 %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
 \ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\synctex=1
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-\usepackage{srcltx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usetikzlibrary{calc}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
 \title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
-
 \externaldocument{extensions-algebriques}
 \externaldocument{correspondance-galois}
 \externaldocument{formes-tordues}
@@ -28,15 +12,8 @@
 \externaldocument{corps-finis}
 \externaldocument{entiers}
 \externaldocument{categories}
-
-%\textwidth16cm
-%\hoffset-1.5cm
-\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}
-
 \begin{document}
-\begin{center}
-Anneaux de Dedekind, corps globaux
-\end{center}
+\maketitle
 \tableofcontents
 \else
 \chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
@@ -68,14 +45,14 @@ Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekin}.
 
 \begin{proposition2}
 \XXX
-Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
-Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\Specmax(A)$
+Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
+Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
 et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
-tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
-De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
-$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
-où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
-pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
+tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
+De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
+$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
+où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
+pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
 \end{proposition2}
 
 \begin{théorème2}[Krull-Akizuki] %秋月康夫
@@ -185,7 +162,7 @@ $\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\b
 \end{démo}
 
 \begin{définition2}
-Discriminant $\got{d}_{K/\QQ}$.
+Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}$.
 \end{définition2}
 
 Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n}
@@ -193,7 +170,7 @@ p^{φ(n)/(p-1)}$.
 
 \begin{lemme2}
 \XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
+Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}$.
 \end{lemme2}
 
 \begin{démo}
@@ -232,47 +209,47 @@ Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
 \begin{theoreme2}
 \XXX
 Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
-des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
+des entiers $\mathscr{O}_K$ de $K$ est fini.
 \end{theoreme2}
 
 \begin{démo}
 \XXX
-Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
-Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
+Chaque classe $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ est représentée par un idéal $\mathfrak{c}$ de $A$.
+Pour borner les possibilités sur $\mathfrak{c}$, il suffit de borner $N(\mathfrak{c}):=\#(𝒪_K/\mathfrak{c})$.
 Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
-supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
-Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
+supposer $N(\mathfrak{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\mathfrak{c}$.
+Si $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\mathfrak{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
 les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
 $p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
-il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
+il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\mathfrak{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
 
-Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
+Si $\mathfrak{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
 du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
 Admettons un instant le fait suivant :
 \begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
-existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
+Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\mathfrak{a}$, il
+existe $0\neq x\in \mathfrak{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\mathfrak{a})$.
 \end{quote}
-Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
-et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
-un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
+Soit $C\in \Pic(\mathscr{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\mathfrak{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mathscr{O}_K$.
+et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \mathfrak{a}$, il existe
+un idéal $\mathfrak{c}$ de $\mathscr{O}_K$ tel que $(x)=\mathfrak{c}\mathfrak{a}$
 (cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
-$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
+$\mathrm{N}(\mathfrak{c})\leq \mu_K$.
 Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
 $\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
 car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
 Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
 $\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
 Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
-Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
+Soit $\mathfrak{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
 tel que
 $$
-m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
+m^d\leq \mathrm{N}(\mathfrak{a}) < (m+1)^d.
 $$
 Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
 deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
-appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
-$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
+appartient à $\mathfrak{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
+$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\mathfrak{a})\mu_K$. CQFD.
 \end{démo}
 
 \begin{théorème2}
@@ -367,52 +344,53 @@ Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected
 Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
 constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
 $$
-\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
-\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
+\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
+\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
 $$
 soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
 \end{théorème2}
 
 \begin{démo}
 \XXX
-Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
+Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\mathfrak{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
 La correspondance
 $$
-\got{a} \mapsto  (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
+\mathfrak{a} \mapsto  (\alpha_{\mathfrak{a}}):=\mathfrak{a}\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
 $$
 établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
 $$
-\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
+\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \mathfrak{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
+|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\mathfrak{b}_{\mathsf{C}})\}.
 $$
 Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
 les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
 Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
+quotient $P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}):=\mathfrak{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
 où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
+en effet les idéaux principaux contenus dans $\mathfrak{b}_\mathsf{C}$.
 C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme  $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
+la norme  $x\in \mathfrak{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
 se factorise.
 Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
 $$
-\{ x \in  P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
+\{ x \in  P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
+$$
+Soit $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \mathfrak{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})$ :
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%\mathfrak{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\mathfrak{b}_\mathsf{C}) \\
+%X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
+%}
+%$$
+Le sous-ensemble $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
 dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
 arbitraire.
 On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
+$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\mathfrak{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
 de  domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
+que $X_{\mathfrak{b}_\mathsf{C}}=\mathfrak{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
 soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
 Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
 
@@ -434,7 +412,7 @@ que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
 nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
 l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
 Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
+$P(\mathfrak{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
 
 Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
 de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
@@ -473,7 +451,7 @@ Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
 \XXX
 Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
 $K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
+est un \emph{réseau}, c'est-à-dire un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
 engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
 \end{lemme2}
 
@@ -585,7 +563,7 @@ $$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
 \mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
 À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
 $\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
+c'est-à-dire $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
 Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
 ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
 conditions du lemme.
@@ -633,7 +611,7 @@ La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude
 groupe de Picard.
 Il suffit de démontrer l'inégalité :
 $$
-\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
+\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
 $$
 où $n=[K:\QQ]$.
 Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
@@ -648,7 +626,7 @@ Admettons que
 $$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
 Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
 $$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
 il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
 de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
 L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -738,7 +716,7 @@ $$
 Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
 et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
 $\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
-la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
+la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
 Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
 on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
 l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
diff --git a/chapitres/RT.tex b/chapitres/RT.tex
index 02484b5..0959b50 100644
--- a/chapitres/RT.tex
+++ b/chapitres/RT.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
 %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
 \ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Extensions radicielles et transcendantes}
 \externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
 \externaldocument{categories}
 \externaldocument{entiers}
 \externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Extensions radicielles et transcendantes}
-
 \begin{document}
 \maketitle
 \tableofcontents
@@ -169,7 +149,7 @@ et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.
 (ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
 \end{démo}
 
- \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
+ \begin{proposition2}\label{union-entiers=entier}
 Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
 $A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
 où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
@@ -178,7 +158,7 @@ $(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈
 morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
 morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
 entier.
-\end{proposition}
+\end{proposition2}
 
 Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.
 
@@ -220,7 +200,7 @@ composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif.
 
 \begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
 \begin{enumerate}
-\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
+\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe si et seulement si toute
 sous-famille finie est linéairement disjointe.
 \item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
 est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
@@ -243,7 +223,7 @@ est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
 
 \begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
 Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
-Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel 
+Elle est linéairement disjointe si et seulement si le produit tensoriel 
 $⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
 \end{lemme2}
 
@@ -369,7 +349,7 @@ nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
 sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
 \end{démo}
 
-\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
+\begin{lemme2}\label{frac-preserve-integrite}
 Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
 intègre.
 \begin{enumerate}
@@ -377,7 +357,7 @@ intègre.
 \item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
 $B$ dans son corps des fractions.
 \end{enumerate}
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
 
 \begin{démo}
 (i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
@@ -412,12 +392,12 @@ galoisienne de groupe $G$.
 Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé. 
 Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
 immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$. 
-D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
+D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n_i}$ (prendre
 $n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
-$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
+$G=∏_{i∈I} \mathfrak{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
 des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
-$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
-L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
+$k_i=\Fix_{\mathfrak{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
+L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_{n_i}$
 (\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part, 
 d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
 linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer
diff --git a/chapitres/produit-tensoriel.tex b/chapitres/produit-tensoriel.tex
index a786888..42e1b3c 100644
--- a/chapitres/produit-tensoriel.tex
+++ b/chapitres/produit-tensoriel.tex
@@ -1,23 +1,10 @@
 %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
 \ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
 \title{Produit tensoriel}
-\setcounter{tocdepth}{3}
-%\setcounter{secnumdepth}{2}
-%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
-
+%%%
 \begin{document}
 \maketitle
 \tableofcontents
@@ -32,7 +19,7 @@
 
 \subsubsection{Définition}
 
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $P$ un groupe abélien.  On dit
 qu'une application $f\colon M × N \to P$ est
@@ -45,9 +32,9 @@ $A$-\emph{bilinéaire} lorsque :
 \item pour tous $x$ dans $M$, $y$ dans $N$ et $a$ dans $A$,
   on a $f(xa,y) = f(x,ay)$.
 \end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche.  On dit qu'un groupe abélien $P$
 muni d'une application $A$-bilinéaire $\varphi\colon M × N \to P$ est
@@ -57,7 +44,7 @@ groupe abélien $T$ quelconque il existe une unique application
 additive $\tilde f \colon P \to T$ (c'est-à-dire morphisme de groupes
 abéliens) telle que $f = \tilde f \circ \varphi$ (cette propriété
 s'appelant la \emph{propriété universelle du produit tensoriel}).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
 Avant de prouver (dans la
 proposition \ref{existence-produit-tensoriel} ci-dessous) que le
@@ -68,7 +55,7 @@ de leurs bases (on verra
 en \ref{produit-tensoriel-et-puissance-directe} qu'il en va de même
 des modules libres en général) :
 
-\begin{exemple3}
+\begin{exemple2}
 Soit $k$ un corps (ce qui, par convention signifie : commutatif), $E$
 et $F$ deux $k$-espaces vectoriels ayant pour bases respectivement
 $(e_i)_{i \in I}$ et $(f_j)_{j \in J}$.  Soit $E \otimes_k F$ l'espace
@@ -84,7 +71,7 @@ $k$-espace vectoriel quelconque, revient à se donner l'image de
 $(e_i,f_j)$ par $b$ (dans $T$) pour chaque couple $(e_i,f_j)$, et se
 donner une application $k$-linéaire $E \otimes_k F \to T$ revient
 également à se donner l'image de chaque couple $(e_i,f_j)$.
-\end{exemple3}
+\end{exemple2}
 
 (Remarquons par ailleurs que $E\otimes_k F$ n'est pas seulement un
 groupe abélien mais même un $k$-espace vectoriel : ce phénomène sera
@@ -96,7 +83,7 @@ ces dimensions.)
 
 \subsubsection{Existence et fonctorialité}
 
-\begin{proposition3}\label{existence-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{existence-produit-tensoriel}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche.  Il existe un produit tensoriel
 $(P,\varphi)$ de $M$ et $N$ au-dessus de $A$, et de plus si
@@ -104,7 +91,7 @@ $(P',\varphi')$ est un autre produit tensoriel, alors il existe un
 isomorphisme de groupes abéliens $h\colon P \to P'$ tel que $\varphi'
 = h \circ \varphi$ (et cet isomorphisme est unique sous cette
 condition).
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 
 \begin{proof}
 L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -137,7 +124,7 @@ s'annule sur $F_0$ donc passe au quotient et définit un $\tilde b
 \end{proof}
 
 L'existence du produit tensoriel étant acquise, on peut convenir :
-\begin{convention3}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
+\begin{convention2}[notation]\label{convention-produit-tensoriel}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche : on notera $M \otimes_A N$, ou
 abusivement $M \otimes N$ s'il n'en résulte aucune ambiguïté, un
@@ -154,14 +141,14 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel}) dont l'existence et l'unicité
 sont garanties par la définition du produit tensoriel.  (Il s'agit de
 l'unique application additive $M\otimes_A N \to T$ envoyant $x\otimes
 y$ sur $f(x,y)$ pour tous $(x,y) \in M\times N$.)
-\end{convention3}
+\end{convention2}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche : alors $M \otimes_A N$ est
 engendré, en tant que groupe abélien, par les éléments de la forme $x
 \otimes y$ avec $x \in M$ et $y \in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Cela résulte par exemple de la construction faite de $M \otimes_A N$
 dans la preuve de la proposition \ref{existence-produit-tensoriel}.
@@ -183,14 +170,14 @@ notant $\{e_1,e_2\}$ la base canonique de $k^2$.
 
 On aura besoin de la notion de produit tensoriel d'applications
 linéaires, qui traduit la \emph{fonctorialité} du produit tensoriel :
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
 une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules à droite, et
 $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire entre deux $A$-modules
 à gauche.  Alors il existe une unique application additive $h\colon
 M\otimes_A N \to M'\otimes_A N'$ telle que $h(x\otimes y) = f(x)
 \otimes g(y)$ pour tous $x\in M$ et $y\in N$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 L'application $M×N \to M'\otimes_A N'$ définie par $(x,y) \mapsto
 f(x)\otimes g(y)$ est manifestement $A$-bilinéaire : la propriété
@@ -205,29 +192,29 @@ universelle du produit tensoriel, grâce à laquelle on n'a jamais à
 revenir à la construction explicite qui a été donnée de l'objet en
 question.)
 
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-applications}
 Dans les conditions et avec les notation de la
 propositions \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, on notera $h =
 f\otimes_A g$ (ou $f \otimes g$) et on l'appellera produit tensoriel
 des morphismes $f$ et $g$.  Lorsque de plus $g = \Id_N$, on note aussi
 $f \otimes_A N$ (au lieu de $f \otimes_A \Id_N$), et de même si $f =
 \Id_M$ on note aussi $M \otimes_A g$ (au lieu de $\Id_M \otimes_A N$).
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-composition}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
 et $f'\colon M'\to M''$ deux applications $A$-linéaire composables
 entre $A$-modules à droite, et $g\colon N\to N'$ et $g'\colon N'\to
 N''$ deux applications $A$-linéaires composables entre $A$-modules à
 gauche.  Alors $(f'\circ f) \otimes (g'\circ g) = (f'\otimes g') \circ
 (f\otimes g)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
 d'applications.
 \end{proof}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-applications-surjectives}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $f\colon M \to M'$
 une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
 à droite, et $g\colon N\to N'$ une application $A$-linéaire
@@ -235,7 +222,7 @@ une application $A$-linéaire \emph{surjective} entre deux $A$-modules
 g$ est surjective.  De plus, son noyau est engendré (en tant que
 groupe abélien) par les éléments de la forme $x \otimes y$ où $x \in
 \Ker f$ \emph{ou bien} $y \in \Ker g$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 On a vu en \ref{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs} que les
 $x' \otimes y'$ avec $x' \in M'$ et $y' \in N'$ engendrent $M' \otimes
@@ -261,7 +248,7 @@ M'\otimes_A N' \to (M\otimes_A N)/T$, telle que $h'h =
 \subsubsection{Cas des bimodules}
 
 Pour cette section, nous rappelons la définition suivante :
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
 Soient $A$ et $B$ deux anneaux non nécessairement commutatifs : un
 \emph{$(A,B)$-bimodule} est la donnée d'une structure de $A$-module à
 gauche et de $B$-module à droite sur un même groupe abélien $M$, qui
@@ -276,7 +263,7 @@ $A$-linéaire (pour la structure de $A$-modules à gauche de $M$ et $N$)
 et $B$-linéaire (pour la structure de $B$-modules à droite de
 $M$ et $N$).  Un \emph{isomorphisme} de $(A,B)$-bimodules est une
 application $(A,B)$-linéaire bijective entre eux.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 De même qu'un $\ZZ$-module à gauche (resp. à droite) n'est rien
 d'autre qu'un groupe abélien, on voit que, pour tout anneau non
 nécessairement commutatif $A$, un $(\ZZ,A)$-bimodule (resp. un
@@ -284,7 +271,7 @@ $(A,\ZZ)$-bimodule) n'est rien d'autre qu'un $A$-module à droite
 (resp. un $A$-module à gauche), et une application $(\ZZ,A)$-linéaire
 (resp. $(A,\ZZ)$-linéaire) n'est autre qu'une application $A$-linéaire.
 
-\begin{remarque3}\label{hom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{hom-bimodules}
 Lorsque $N$ et $P$ sont respectivement un $(B,C)$-bimodule et un
 $(A,C)$-bimodule (avec $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement
 commutatifs), le groupe abélien $\Hom_C(N,P)$ des applications
@@ -299,9 +286,9 @@ structure de $(B,C)$-bimodule.
 En revanche, si $M$ et $N$ sont deux $(A,B)$-bimodules, l'ensemble
 $\Hom_{A,B}(M,N)$ des applications $(A,B)$-linéaires de $M$ vers $N$
 n'a pas naturellement plus qu'une structure de groupe abélien.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
 
-\begin{definition3}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
+\begin{definition2}\label{definition-application-bilineaire-bimodules}
 Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
 $(A,B)$-bimodule, $N$ un $(B,C)$-bimodule et $P$ un $(A,C)$-bimodule :
 on dit que $f\colon M\times N \to P$ est $(A,B,C)$-bilinéaire lorsque
@@ -317,9 +304,9 @@ en \ref{hom-bimodules}, ou encore que l'application $N \mapsto
 \Hom_A(M,P)$ donnée par $y \mapsto (x \mapsto f(x,y))$ est
 $(B,C)$-linéaire où $\Hom_A(M,P)$ est muni de la structure de
 $(B,C)$-bimodule explicitée au même endroit.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules}
 Soient $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, $M$ un
 $(A,B)$-bimodule et $N$ un $(B,C)$-bimodule.  Il existe alors une
 unique structure de $(A,C)$-bimodule sur le groupe abélien $M
@@ -333,7 +320,7 @@ de \ref{definition-application-bilineaire-bimodules}), alors
 l'application $\tilde f\colon M\otimes_B N \to T$ vérifiant $\tilde
 f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont l'existence et l'unicité sont garanties
 par la définition du produit tensoriel) est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Pour un $a\in A$, considérons l'application $M\otimes_B N \to
 M\otimes_B N$ donnée par $x\otimes y \mapsto (ax)\otimes y$
@@ -365,7 +352,7 @@ droite de façon naturelle, et que le produit tensoriel sur $B$ d'un
 $(A,B)$-bimodule et d'un $B$-module à gauche est un $A$-module à
 gauche de façon naturelle.
 
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
 On pourrait être tenté d'imaginer que si $M$ est un $(A,B)$-bimodule
 et $N$ un $(B,C)$-bimodule, il existe sur $M\otimes_B N$ une structure
 de module sur $B$ (que ce soit à gauche ou à droite) en tentant de
@@ -375,9 +362,9 @@ xb\otimes y = x \otimes by$ n'est en général pas $B$-bilinéaire (au
 sens de \ref{definition-application-bilineaire}), donc il n'est pas
 possible d'en déduire une application de multiplication par $B$ sur $M
 \otimes_B N$.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-bimodules-applications}
 Soit $A,B,C$ trois anneaux non nécessairement commutatifs, et $f\colon
 M\to M'$ et $g\colon N\to N'$ deux applications respectivement
 $(A,B)$-linéaire et $(B,C)$-linéaire entre des $(A,B)$-bimodules
@@ -385,7 +372,7 @@ $M$ et $M'$ et des $(B,C)$-bimodules $N$ et $N'$.  Si l'on munit
 $M\otimes_B N$ et $M'\otimes_B N'$ de la structure de $(A,C)$-bimodule
 définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}, alors
 $f\otimes_B g$ est $(A,C)$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Si on note $a_P$ la multiplication par $a$ dans un $A$-module $P$, on
 a $a_{M\otimes_B N} = a_M \otimes_B \Id_N$ par définition de la
@@ -403,12 +390,12 @@ fait que $f \circ a_M = a_{M'} \circ f$.  La $C$-linéarité de
 $f\otimes_B g$ se démontre de même.
 \end{proof}
 
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-bimodules}
 Le produit tensoriel sur $B$ d'un $(A,B)$-bimodule et d'un
 $(B,C)$-bimodule sera toujours implicitement muni de la structure de
 $(A,C)$-bimodule définie par la
 proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
 
 \subsubsection{Suites de bimodules et associativité}\label{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel}
 
@@ -422,7 +409,7 @@ cela, on fait la définition suivante, qui généralise
 \ref{definition-application-bilineaire} ainsi que la définition
 utilisée dans l'énoncé \ref{produit-tensoriel-bimodules} :
 
-\begin{definition3}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
+\begin{definition2}\label{definition-application-sequentiellement-multilineaire}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
 On dit qu'une application $f\colon M_1\times \cdots \times M_n \to P$,
@@ -443,7 +430,7 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-\emph{séquentiellement multilinéaire} lorsque :
 \item pour tout $a\in A_n$ et tous $(y_j) \in M_1\times \cdots \times
   M_n$, on a $f(y_1,\ldots, y_n a) = f(y_1,\ldots, y_n) a$.
 \end{itemize}
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
 On notera $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ l'ensemble des
 applications $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaires de
@@ -451,7 +438,7 @@ $M_1\times \cdots \times M_n$ vers $P$.  Remarquons qu'utiliser $\ZZ$
 pour $A_0$ ou $A_n$ permet d'éliminer l'avant-dernière ou la dernière
 des conditions ci-dessus.
 
-\begin{remarque3}\label{multihom-bimodules}
+\begin{remarque2}\label{multihom-bimodules}
 L'ensemble $\MHom_{A_0,\ldots,A_n}(M_1,\ldots,M_n;P)$ comme ci-dessus
 n'est naturellement muni que d'une structure de groupe abélien.  En
 revanche, si $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, l'ensemble
@@ -481,12 +468,12 @@ multilinéaire $M_{k+1} \times \cdots \times M_n \to
 ((x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_n))$.
 (Cf. \ref{definition-application-bilineaire-bimodules} pour le
 cas $n=3$.)
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
 
 La définition suivante généralise \ref{definition-produit-tensoriel}
 et \ref{produit-tensoriel-bimodules}
 (cf. \ref{convention-produit-tensoriel-bimodules}) :
-\begin{definition3}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{definition2}\label{definition-produit-tensoriel-sequentiel}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
 On dit qu'un $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ muni d'une application
@@ -497,14 +484,14 @@ $(A_0,\ldots,A_n)$-séquentiellement multilinéaire $f \colon M_1 \times
 \cdots \times M_n \to T$ vers un $(A_0,A_n)$-bimodule quelconque $T$
 il existe une unique application $(A_0,A_n)$-linéaire $\tilde f \colon
 P\to T$ telle que $f = \tilde f \circ \varphi$.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 
 Pour éclaircir le rapport entre les notions de produit tensoriel
 introduites en \ref{definition-produit-tensoriel} et
 \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}, commençons par établir
 le lemme suivant :
 
-\begin{lemme3}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
+\begin{lemme2}\label{produit-tensoriel-sequentiel-de-deux-a-plus}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
 Soit $k \in \{1,\ldots,n-1\}$.  Si $(P',\varphi')$
@@ -518,7 +505,7 @@ M_1\times \cdots \times M_n \to P$ est donné par $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
 \varphi'(x_1,\ldots,x_k) \otimes \varphi''(x_{k+1},\ldots,x_n)$, alors
 $(P,\varphi)$ est un produit tensoriel (au sens
 de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$.
-\end{lemme3}
+\end{lemme2}
 \begin{proof}
 L'application $\varphi$ introduite est bien séquentiellement
 multilinéaire puisque $\varphi'$ et $\varphi''$ le sont et que
@@ -592,7 +579,7 @@ peut dire qu'ils s'obtiennent comme composantes de l'opération $*$
 définie par $(Y',Z')*(Y'',Z'') = (Y'\mathbin{\sharp}Y'',
 Z'\mathbin{\flat}Z'')$.
 
-\begin{proposition3}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
+\begin{proposition2}[associativité séquentielle du produit tensoriel]
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.
 Il existe un produit tensoriel $(P,\varphi)$ (au sens
@@ -610,7 +597,7 @@ de \ref{definition-produit-tensoriel},
 $\varphi \colon M_1 \times \cdots \times M_n \to P$ envoyant
 $(x_1,\ldots,x_n)$ sur $x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$ parenthésé
 identiquement.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 
 \begin{proof}
 L'unicité résulte de considérations purement formelles : d'après la
@@ -646,7 +633,7 @@ M_n$ et $x_1\otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
 $M_1,\ldots,M_n$.
 \end{proof}
 
-\begin{convention3}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{convention2}\label{convention-produit-tensoriel-sequentiel}
 Cette proposition justifie d'écrire désormais $M_1\otimes_{A_1} \cdots
 \otimes_{A_n} M_n$ pour un produit tensoriel quelconque (au sens
 de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) de $M_1,\ldots,M_n$,
@@ -665,9 +652,9 @@ l'application ($\tilde f$ avec les notatons
 de \ref{definition-produit-tensoriel-sequentiel}) dont l'existence et
 l'unicité sont garanties par la définition du produit tensoriel dans
 ce cadre.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
 
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ une application
 $(A_{i-1},A_i)$-linéaire $f_i\colon M_i \to M'_i$ entre
@@ -682,7 +669,7 @@ $M'_1\otimes_{A_1} \cdots \otimes_{A_n} M'_n$ étaient vus comme des
 parenthésages complets identiques des expressions formelles en
 question, alors $h$ peut être décrit comme parenthésage identique de
 l'expression formelle $f_1 \otimes \cdots \otimes f_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 
 \begin{proof}
 Comme en \ref{fonctorialite-produit-tensoriel}, la démonstration de la
@@ -704,7 +691,7 @@ connu pour les sous-expressions gauche et droite de ce parenthésage.
 Cette proposition justifie d'écrire désormais $f_1\otimes \cdots
 \otimes f_n$ pour un $h$ tel qu'elle définit.
 
-\begin{proposition3}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-produit-tensoriel-sequentiel-composition}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs, et
 pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ deux applications
 $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
@@ -712,7 +699,7 @@ $(A_{i-1},A_i)$-linéaires $f_i\colon M_i \to M'_i$ et $f'_i\colon M'_i
 f_1) \otimes \cdots \penalty300 \otimes (f'_n \circ f_n) =
 (f'_1\otimes \cdots \otimes f'_n) \circ \penalty0 (f_1\otimes \cdots
 \otimes f_n)$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 C'est évident sur les propriétés définissant le produit tensoriel
 d'applications.
@@ -728,7 +715,7 @@ supplémentaire de $(A_0,A_n)$-bimodule sur le produit tensoriel de
 $M_1,\ldots,M_n$ sur $\ZZ,A_1,\ldots,A_{n-1},\ZZ$ (lequel fournit donc
 le groupe abélien sous-jacent) :
 
-\begin{proposition3}
+\begin{proposition2}
 Soient $A_0,\ldots,A_n$ des anneaux non nécessairement commutatifs,
 soit pour chaque $i \in \{1,\ldots,n\}$ un
 $(A_{i-1},A_i)$-bimodule $M_i$.  Notons $P = M_1 \otimes \cdots
@@ -743,7 +730,7 @@ pour tous $a \in A_0$ et $(x_1,\ldots,x_n) \in M_1 \times \cdots
 $(A_0,A_n)$-bimodule $P$ (toujours muni de $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto
 x_1 \otimes \cdots \otimes x_n$) est un produit tensoriel de
 $M_1,\ldots,M_n$ sur $A_0,\ldots,A_n$.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Pour un $a\in A_0$, considérons l'application $P \to P$ donnée par
 $x_1\otimes \cdots \otimes x_n \mapsto (ax_1)\otimes \cdots \otimes
@@ -807,7 +794,7 @@ contrainte qu'on lui impose.
 Lorsque $A$ est un anneau commutatif, les notions de $A$-module à
 gauche, de $A$-module à droite, et de $(A,A)$-bimodule coïncident.
 Les propositions précédentes permettent de conclure que :
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif}
 Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $M$ et $N$ deux $A$-modules.
 Il existe alors une unique structure de $A$-module sur le groupe
 abélien $M \otimes_A N$ telle qu'on ait $a(x\otimes y) = (ax)\otimes
@@ -821,29 +808,29 @@ M\otimes_A N \to T$ vérifiant $\tilde f(x\otimes y) = f(x,y)$ (dont
 l'existence et l'unicité sont garanties par la
 définition \ref{definition-produit-tensoriel} du produit tensoriel)
 est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
 proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules}.
 \end{proof}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-commutatif-applications}
 Soit $A$ un anneau \emph{commutatif}, et $f\colon M\to M'$ et $g\colon
 N\to N'$ deux applications $A$-linéaires entre $A$-modules.  Si l'on
 munit $M\otimes_A N$ et $M'\otimes_A N'$ de la structure de $A$-module
 définie par la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}, alors
 $f\otimes_A g$ est $A$-linéaire.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Compte tenu de la remarque précédente, c'est un cas particulier de la
 proposition \ref{produit-tensoriel-bimodules-applications}.
 \end{proof}
 
-\begin{convention3}
+\begin{convention2}
 Dans le contexte des anneaux commutatifs, le produit tensoriel de deux
 modules sera toujours implicitement muni de la structure définie par
 la proposition \ref{produit-tensoriel-commutatif}.
-\end{convention3}
+\end{convention2}
 
 Les résultats de la
 section \ref{sous-section-produit-tensoriel-sequentiel} permettent de
@@ -871,7 +858,7 @@ celui défini jusqu'à présent.
 
 On rappelle :
 
-\begin{definition3}
+\begin{definition2}
 Si $A$ est un anneau non nécessairement commutatif, une \emph{suite
   exacte} de $A$-modules à gauche $M_0 \buildrel f_1\over\to M_1
 \buildrel f_2\over\to \cdots \buildrel f_n\over\to M_n$ est la donnée
@@ -889,7 +876,7 @@ M_3 \to 0$.
 On définit de façon analogue les notions de suite exacte de
 $A$-modules à droite, de bimodules sur un couple d'anneaux non
 nécessairement commutatifs.
-\end{definition3}
+\end{definition2}
 Lorsque $M_0 = 0$ (auquel cas il n'est pas nécessaire de spécifier
 $f_1$ qui est nécessairement nul), l'exactitude en $M_1$ équivaut à
 l'injectivité de $f_2$.  Lorsque $M_n = 0$ (auquel cas il n'est pas
@@ -902,14 +889,14 @@ g = \Im f$.
 
 Dans la proposition suivante, on attire l'attention sur l'absence
 de $0$ à gauche de la seconde suite :
-\begin{proposition3}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
+\begin{proposition2}[exactitude à droite du produit tensoriel]\label{exactitude-a-droite-du-produit-tensoriel}
 Soit $M' \buildrel f\over\to M \buildrel g\over\to M'' \to 0$ une
 suite exacte de modules à droite sur un anneau non nécessairement
 commutatif.  Alors pour tout $A$-module à gauche $N$, la suite
 $M'\otimes_A N \buildrel f\otimes N\over \rightarrow M\otimes_A N
 \buildrel g\otimes N\over \rightarrow M''\otimes_A N \to 0$ est
 exacte.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Il s'agit donc de prouver que $g\otimes N$ est surjectif sous
 l'hypothèse que $g$ l'est, et que son noyau est égal à l'image de
@@ -936,7 +923,7 @@ module \emph{plat}. \XXX
 
 \subsubsection{Distributivité sur les sommes directes}
 
-\begin{proposition3}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
+\begin{proposition2}\label{produit-tensoriel-et-sommes-directes}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif et $N$ un
 $A$-module à gauche.  Alors :
 \begin{itemize}
@@ -952,7 +939,7 @@ Ces isomorphismes se comprennent comme des isomorphismes de groupes
 abéliens et, si $A$ est commutatif, de $A$-modules.  De plus, on a les
 mêmes résultats, \textit{mutatis mutandis} pour le facteur gauche du
 produit tensoriel.
-\end{proposition3}
+\end{proposition2}
 \begin{proof}
 Montrons que l'application $\eta\colon N \to A\otimes_A N$ donnée par
 $y \mapsto 1\otimes y$ est réciproque de l'application
@@ -980,7 +967,7 @@ $\eta\varepsilon = \Id_{(\bigoplus_i M_i)\otimes_A N}$.
 
 La conséquence suivante est immédiate :
 
-\begin{corollaire3}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
+\begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-et-puissance-directe}
 Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $M$ un $A$-module
 à droite, $N$ un $A$-module à gauche et $I$ un ensemble.  Alors
 l'application $(x_i) \otimes y \mapsto (x_i \otimes y)$ définit un
@@ -998,9 +985,9 @@ l'identification étant donnée par $e_i \otimes f_j \mapsto g_{i,j}$
 sur les bases canoniques $(e_i)_{i\in I}$, $(f_j)_{j\in j}$ et
 $(g_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ respectives de $A^{(I)}$, $A^{(J)}$
 et $A^{(I\times J)}$.
-\end{corollaire3}
+\end{corollaire2}
 
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
 Si $(M_i)$ est une famille de $A$-modules à droite sur un anneau non
 nécessairement commutatif $A$ et $N$ un $A$-module à gauche, on a
 également une application naturelle $\left(\prod_i M_i\right)
@@ -1010,9 +997,9 @@ en \ref{produit-tensoriel-et-sommes-directes}.  Cependant, même dans
 le cas où tous les $M_i$ sont égaux à $A$ et où $A$ est commutatif,
 l'application $A^I \otimes_A N \to N^I$ n'est pas nécessairement ni
 surjective ni même injective. \XXX
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
 
-\begin{remarque3}
+\begin{remarque2}
 Rappelons qu'une \emph{présentation} d'un $A$-module à droite $M$ est
 la donnée d'une suite exacte $A^{(J)} \buildrel f\over\to A^{(I)}
 \buildrel g\over\to M \to 0$ (c'est-à-dire d'une famille génératrice
@@ -1024,7 +1011,7 @@ que pour tout $A$-module à gauche $N$, le module $M \otimes_A N$ se
 décrit (à isomorphisme près) comme le conoyau de l'application $f
 \otimes N \colon N^{(J)} \to N^{(I)}$.  Ceci fournit une méthode
 systématique pour « calculer » les produits tensoriels.
-\end{remarque3}
+\end{remarque2}
 
 \subsection{Cas de familles de modules sur un anneau commutatif}\label{sous-section-produit-tensoriel-commutatif}