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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-30 17:43:50 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-30 17:43:50 +0200
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[LG] formule Poisson ⇒ Riemann-Roch (esquisse)
+ début plan pour hypothèse de Riemann (Bombieri-Katz).
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex192
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index 9805cd9..5849151 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -259,7 +259,8 @@ qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
ultramétrique.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. [doute sur le signe $±n$ ;
+cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
\end{définition2}
\begin{proposition2}
@@ -307,10 +308,10 @@ où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
-\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{±n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} ⋅ [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$.
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{±n/2} ⋅ [ϖ^{±n}]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -432,7 +433,8 @@ de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...]
$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.
\begin{définition2}
-Corps des constantes.
+Corps des constantes : clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$
+ou plus grand sous-corps fini.
\end{définition2}
\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
@@ -491,6 +493,10 @@ A_K=\colim_S A_K(U).
\]
Description de la topologie.
+\XXX Notation concurrente (peut-être préférable) : $K_𝐀$
+etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
+
+
\subsubsection{Mesure}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
@@ -775,19 +781,55 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non a
\end{remarque2}
\subsection{Groupes de Picard}
+\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
+
+\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
+$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ_f(K)} 𝐙$ des
+\emph{diviseurs} de $K$.
+
+\begin{lemme2}
+Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$,
+la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ_f(K)$, est presque
+partout nulle.
+\end{lemme2}
+
+On note
+\[
+\div(f)=∑_{x ∈ } x(f) ⋅ x ∈ ⨁_{x ∈ Σ(K)} 𝐙 ;
+\]
+l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$.
+
+Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre.
+
+Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps des
+constantes $k$, considérons également l'application
+\[
+\deg:\Div(K) → 𝐙
+\]
+\[
+∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
+\]
-\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme
-$\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v ∤ ∞})$.
-Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
+On a la formule des résidus suivante.
+
+\begin{lemme2}
+\[\deg ∘ \div =0.\]
+\end{lemme2}
+
+C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.
+
+\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
+Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
\]
-où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
+où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$.
+[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX]
+Définir $\div(\text{idèle})$.
\begin{proposition2}
-Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à
-$\Pic(𝒪_K)$.
+Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪_K)$.
\end{proposition2}
Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
@@ -883,11 +925,13 @@ Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
\end{démo}
\begin{théorème2}
+\label{Fourier adélique}
\XXX
Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
+\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
\[
∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
@@ -906,35 +950,96 @@ Cf. Goldstein, p. 150.
\subsection{Théorème de Riemann-Roch}
\begin{théorème2}
+\label{Poisson-Riemann-Roch}
+Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
+on a :
\[
-∑_{x ∈ K} f(λ x)=\frac{1}{|λ|} ∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x/λ).
+∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a).
\]
\end{théorème2}
\subsection{Premières applications}
\subsubsection{}
+\label{Poisson implique RR}
+Soient $K$ un corps global de
+caractéristique $p>0$, $k$ son corps des constantes,
+de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
+de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x o(ψ_x) ⋅ x$,
+où $o(ψ_x)$ désigne l'ordre d'un caractère (\ref{}).
+Il résulte de \ref{Fourier adélique} que la classe
+de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
+\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
+notera $𝔠$. Nous allons appliquer la formule
+\ref{Poisson-Riemann-Roch} à la fonction
+caractéristique $\mathbf{1}$ du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$. Avec
+les notations de \ref{}, $\mathbf{1} = ⨂_x \mathbf{1}_{𝒪_x}$.
+Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que
+la transformée de Fourier $ℱ_ψ(\mathbf{1})$
+est égale à la fonction
+\[
+⨂_x q_x^{-o(ψ_x)/2} \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}} =
+q^{-\deg(𝔠)/2} ⨂_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}}.
+\]
+Pour tout $a ∈ K^×_𝐀$, le terme de gauche de la formule
+\ref{Poisson-Riemann-Roch} est
+\[
+♯ \big( K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀\big)
+\]
+
+L'intersection $K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
+des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ 𝔞=\div(a)$
+c'est-à-dire telles que les pôles soient d'ordres minorés
+par le diviseur $𝔞$. On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
+sa dimension sur $k$, de sorte que $♯ L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
+Le terme de droite de la formule est $q^{\deg(a)-\deg(𝔠)/2} l(𝔠-𝔞)$
+car $|a|=q^{-\deg(a)}$ et …
\begin{théorème2}
-RR pour les courbes.
+RR pour les courbes :
+\[
+l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-(g-1),
+\]
+où $g=½\deg(𝔠)+1=l(𝔠)$ est un entier appelé \emph{genre} de $K$.
\end{théorème2}
+\begin{remarque2}
+Extension au cas d'un corps des constantes quelconques :
+cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101.
+\end{remarque2}
+
+Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
+
\begin{théorème2}
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=|𝔡_K|^½ \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=q^{g-1} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
\end{théorème2}
+\begin{démo}
Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100.
+Corps des fonctions. Reprenons les notations de \ref{Poisson
+implique RR}. On a vu (\ref{Fourier et mesure locaux}) que,
+pour chaque $x ∈ Σ(K)$, la mesure auto-duale locale
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est égale à $q_x^{±o(ψ_x)/2} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$.
+Comme $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$, on a donc
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(K_𝐀/K)=∏_x
+q_x^{±o(ψ_x)/2}=q^{\deg(𝔠)/2}$. CQFD.
+\end{démo}
\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
-sinon [...]
+sinon
+\[
+\frac{h}{w=q-1}
+\]
\end{théorème2}
-Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé).
+Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
+[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
+puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
\section{Fonctions zêta}
@@ -1176,7 +1281,7 @@ comme annoncé.
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}
-(Cf. Lang.)
+(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)
\begin{corollaire2}
\XXX
@@ -1256,6 +1361,59 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}
+\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
+
+Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
+varieties over finite fields » (1973-74).
+
+\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
+$g$ mesure la complexité de la courbe :
+$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les
+
+\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
+on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
+dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
+$K ⊗_k k_d$ \XXX.
+
+\begin{lemme2}
+\[
+Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
+\]
+\end{lemme2}
+
+Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
+des scalaires.
+
+\begin{lemme2}
+Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
+tels que
+\[
+|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}.
+\]
+pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
+\end{lemme2}
+
+\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$
+au-dessus duquel $K$ est galoisien.
+
+[Élémentaire mais utilise astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
+où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Cf. Katz,
+pp. 31--34.
+
+\begin{théorème2}[Bombieri]
+Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
+Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
+\[
+♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
+(un peu) + calculs. (Voir peut-être vidéo de Wigderson sur
+le site de l'IAS.)
+\end{démo}
+
\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}
\begin{théorème2}