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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 17:18:03 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 17:18:03 +0100
commit73f081013e6dd5b0ceefab66014d8782f2b56abe (patch)
tree9038772d9bc8d4ed6e2db03db8edd6abd429dad0 /chapitres
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[calculs] Remarques sur la composition des transformations de Tschirnhaus.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex25
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 75a4257..1365c07 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -654,6 +654,31 @@ de le voir) donc tout $E$, le corps $E$ est aussi corps de
décomposition de $Q$. Ceci prouve tout ce qu'on voulait.
\end{proof}
+\begin{remarques2}
+Contrairement à ce que pourraient laisser penser les propositions
+précédentes (ou la terminologie), les transformations de Tschirnhaus
+ne forment pas un groupe (mais plutôt un « groupoïde ») : il est bien
+possible de composer une transformation de Tschirnhaus $U$ de $P$
+en $Q$ avec une transformation de Tschirnhaus $V$ de $Q$ en $R$, la
+composée étant donnée comme on s'y attend par le polynôme $V\circ U$,
+en revanche, données deux transformations de Tschirnhaus différentes
+sur un polynôme $P$, il n'y a pas de façon évidente de les composer
+(si $U$ transforme $P$ en $Q$ et que $V$ est une autre transformation
+de Tschirnhaus sur $P$, il n'y a pas de raison que ce même polynôme
+constitue une transformation de Tschirnhaus sur $Q$, ou que deux
+polynômes représentant la même transformation de Tschirnhaus sur $P$
+représentent la même sur $Q$).
+
+En revanche, si on considère les transformations de Tschirnhaus
+transformant un polynôme $P$ sur \emph{lui-même}, alors on a bien
+affaire à un groupe, et la
+proposition \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
+montre qu'il s'agit d'un groupe bien familier, à savoir celui des
+automorphismes du corps de rupture $k[X]/(P)$ de $P$ ; lorsque ce
+dernier coïncide avec le corps de décomposition, il s'agit du groupe
+de Galois de $P$.
+\end{remarques2}
+
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du