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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 13:10:23 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 13:10:23 +0200
commit7510f856d94f3c8bd867b3c2ea72d207e1228ea1 (patch)
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[LC] structure quasi-caractères
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex87
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index a95d93b..4db9b8c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -570,36 +570,65 @@ Abordons maintenant la théorie multiplicative.
\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}
+\subsubsection{Structure de $K^×$}
+\label{structure de Kétoile}
+Soit $K$ un corps local.
+S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
+Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
+\[
+x=x₁ ρ,
+\]
+où $x₁ ∈ U=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
+est archimédien (resp. ultramétrique). De plus, $x ↦ x₁$
+est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
+sur $U$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
+est isomorphe au produit direct $U × K^×_{>0}$,
+où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
+(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
+ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$.)
+
\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
-𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$).
+𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
+ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
+$U=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}
-Ainsi, un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
-
-\subsubsection{}Soit $K$ un corps local. Pour tout nombre complexe $s$,
-la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
-multiplicatif.
-
-\begin{définition2}
-\label{quasi-caractère net}
-Soit $K$ un corps local.
-Un quasi-caractère multiplicatif de $K$
-est dit \emph{non ramifié} ou \emph{net}
-s'il est trivial sur le sous-groupe $U=\{x ∈ K^×: |x|=1\}$.
-\end{définition2}
+\subsubsection{}Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
+Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+multiplicatif net.
\begin{proposition2}
-Tout quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
-est de la forme $ω_s$ pour un nombre complexe $s$ bien défini
+\label{description quasi-caractères}
+Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
+est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
+où $χ₁$ est un caractère de $U$ et $s$ est un nombre complexe $s$ bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
-(resp. archimédien).
+(resp. archimédien). De plus, $χ$ est net si et seulement si $χ₁=1$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Facile (cf. Tate, p. 311). \XXX
+Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U}$ ; c'est un
+caractère de $U$ et, par construction, le quasi-caractère
+multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
+donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
+forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
+à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
+Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
+est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors
+que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
+est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$.
+Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
+continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un
+unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
+(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
+toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
+(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
+homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
+immédiat.
+% références ?
\end{démo}
\begin{définition2}
@@ -613,28 +642,6 @@ En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul.
-\subsubsection{}Si $K$ est un corps local ultramétrique,
-supposons choisie une uniformisante $ϖ$. Tout élément
-$x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
-\[
-x=x₁ ρ,
-\]
-où $x₁ ∈ U=\{z ∈ K^×:|z|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
-est archimédien (resp. ultramétrique).
-
-\begin{proposition2}
-Soit $χ$ un quasi-caractère d'un corps local. Il existe un unique
-caractère $χ₁$ de $U$ et un nombre complexe $s$ tels
-que, pour chaque $x ∈ K^×$, on ait l'égalité
-\[
-χ(x)=χ₁(x₁) ω_s(x).
-\]
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Facile (cf. ibidem). \XXX
-\end{démo}
-
\subsection{Transformée de Mellin}
\[⁂\]