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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 22:06:08 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-05-04 22:06:08 +0200
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[LC] suite calculs fonctions ζ locales et début th. local principal
Finalement, la démonstration « formelle » (algébrique) présentée dans Bushnell-Henniart dans le cas ultramétrique s'adapte aussi au cas archimédien (moyennant un epsilon sur les distributions tempérés, qui me semble mieux que des calculs bourrins) : cf Weil, « Fonction zêta et distributions », Bourbaki 1966.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex120
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index b7566cb..3ccfd94 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -770,7 +770,7 @@ nous allons calculer les séries $Z(χ,𝟭_{x+𝔪^e},X)$, en
distinguant les cas $x ∈ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$) et $x ∉ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $f(0)=0$).
\subsubsection{}
-\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
+\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère I}
Il est immédiat que
\[
z(χ,𝟭_{𝔪^e})_n=
@@ -808,7 +808,9 @@ Matchett (thèse, 1946), cette formule est un des points de départ de la métho
— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
-\subsubsection{}Soit maintenant un élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
+\subsubsection{}
+\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère II}
+Soit maintenant un élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
@@ -834,80 +836,76 @@ Z(χ,𝟭_{x+𝔪^e},X)=
Il résulte de ce calcul que si $f ∈ 𝒮(K)$ est telle que $f(0)=0$,
la série $Z(χ,f,X)$ appartient à $𝐂[X^{±1}]$. C'était \emph{a priori} évident.
-\subsubsection{}Supposons $K$ archimédien.
-
+\subsubsection{}Supposons maintenant $K$ archimédien, de
+degré $N$ sur $𝐑$ ($N ∈ \{1,2\}$) et
+introduisons la gaussienne $g_K ∈ 𝒮(K)$ qui joue
+un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas
+ultramétrique :
\[
-ζ(1,\exp(-π x²),s)=π^{-\frac{s}{2}}Γ(\frac{s}{2})=:Γ_𝐑(s).
+g_K(x)=\exp(- N π |x|²).
\]
+Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
+positive, on a
\[
-ζ(1,\exp(-2 π |z|²,s)=(2 π)^{1-s} Γ(s)=:Γ_𝐂(s)
+ζ(1,g_K,s)=(Nπ)^{N(1-\frac{s}{2})-1}Γ(N\frac{s}{2}),
\]
-% Tate, p. 317 et 319.
+où $Γ(s)= \displaystyle ∫_0^{+∞} e^{-r} r^s \frac{dr}{r}$
+est la fonction Gamma usuelle.
+Cela résulte immédiatement du changement de variable
+$x=√r$ dans le cas réel et $x=√r e^{i θ}$ dans
+le cas complexe.
- \[⁂\]
+% plus généralement… Bump, 271.
-\begin{proposition2}
-Soient $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
+\begin{théorème2}
+Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
+trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
-\item La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à
-$L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
-\item La fonction $s ↦ ∫_{K^×} f χ ω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}$
-est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
-Si de plus $K$ est ultramétrique, il existe une série
-de Laurent $Z(X,χ,f)$ absolument convergence pour $|x| <
-q^{\Re(χ)}$ telle que $∫_{K^×} f χ ω_s
- dμ^{\mbox{\minus $×$}}=Z(q^{-s},χ,f)$ pour $s$
-dans le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
+\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'intégrale
+$∫_{K^×} f ω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
+convergente et définit une fonction holomorphe $ζ_ψ(χ,f,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
+\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction
+$ζ_ψ(χ,f,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
+\item Il existe une fonction méromorphe non nulle $s ↦ γ(χ,ψ,s)$ telle que,
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
+suivante soit satisfaite :
+\[
+γ(χ,ψ,s)ζ_ψ(χ,f,s)=ζ_ψ(χ^{-1},ℱ_ψ(f),1-s).
+\]
\end{enumerate}
-\end{proposition2}
-
-Notons que $\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$ pour tout quasi-caractère
-multiplicatif $χ$.
+\end{théorème2}
\begin{démo}
-(i) L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
+Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
+calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère I}
+et \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère II}
+que $ζ_ψ(χ,f,s)=Z_ψ(χ,f,q^{-s})$ où $Z_ψ(χ,f,X)$ est
+une fraction rationnelle dont l'ensemble des pôles
+est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
+Les résultats (i) et (ii) sont alors évidents.
+Démontrons (i) dans le cas archimédien.
+L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
-il suffit de vérifier la convergence de l'intégrale
+on se ramène à la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
-pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Ce résultat est classique dans
-le cas archimédien et résulte du calcul précédent dans le
-cas ultramétrique. On rappelle que, dans ce dernier cas, l'ensemble
-$\{x ∈ K: |x|<1\}$ est l'idéal maximal $𝔪$.
-(ii) Si $K$ est archimédien, l'holomorphie est classique ;
-cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}.
-Si $K$ est ultramétrique, il suffit de démontrer (iii).
-Or, la fonction $f$ ne prenant qu'un nombre fini de
-valeurs, cela résulte des formules explicites de \ref{calcul explicite
-intégrale quasi-caractère} et de la formule triviale :
-$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$,
-où, rappelons-le, $|y| ∈ q^𝐙$.
+pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. L'holomorphie
+est résulte d'un théorème classique de dérivation
+sous le signe somme (cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}).
+(ii) En vertu de (i), la non nullité de $γ$ et
+l'égalité $\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$ qu'il suffit de suffit de démontrer
+l'équation fonctionnelle. En effet, la fonction
+$ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
+et égale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ à la
+restriction de la fonction $γ(χ,ψ,s)^{-1}ζ_ψ(χ^{-1},ℱ_ψ(f),1-s)$,
+méromorphe sur le demi-plan $\Re(s)<1-\Re(χ)$.
+(iii) Cf. \cite{Fonction@Weil} surtout.
+(Voir aussi \cite{Bernstein-Zelevinski}, \cite{Bushnell-Henniart} dans cas ultramétrique.)
\end{démo}
-\begin{proposition2}
-Soient $ψ$ un caractère additif non trivial d'un corps local $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
-\begin{enumerate}
-\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction $s ↦
-ζ_ψ(s,χ,f)$ définie \emph{a priori} sur le demi-plan $\Re(s) > \Re(χ^{-1})$ admet un
-prolongement méromorphe à $𝐂$.
-\item Il existe une fonction méromorphe $s ↦ γ(s,χ,ψ)$ telle que,
-pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
-suivante soit satisfaite :
-\[
-γ(s,χ,ψ)ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
-\]
-\end{enumerate}
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
-plus jolie.
-\end{démo}
-
-Pour un autre démonstration dans le cas ultramétrique, plus
-algébrique, voir par exemple \cite[§23]{Bushnell-Henniart}.
+ \[⁂\]
\begin{exemples2}
Exemples de $γ$.
@@ -1953,8 +1951,8 @@ Utilise :
\section{Notes}
-Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
-[Colmez, appendice F].
+Pour la transformation de Fourier :
+\cite{Bushnell-Henniart}, \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F].
\ifx\danslelivre\undefined