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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 16:55:17 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-10-12 16:55:17 +0200
commit782aae0ce45cb81c9f0e98d97ed1e1713593dcdf (patch)
treead69896b92d3b264c633f5a518006f7bd086e0f9 /chapitres
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[Gröbner] Algorithme final de calcul du groupe de Galois par bases de Gröbner.
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-rw-r--r--chapitres/bases-groebner.tex45
1 files changed, 42 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/bases-groebner.tex b/chapitres/bases-groebner.tex
index ad00814..dd820cf 100644
--- a/chapitres/bases-groebner.tex
+++ b/chapitres/bases-groebner.tex
@@ -17,6 +17,7 @@
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{extensions-algebriques}
+\externaldocument{calculs-galois}
\synctex=1
@@ -1452,7 +1453,7 @@ Soit $k$ est un corps et $f \in k[X]$ un polynôme unitaire
\emph{séparable}. Si $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ désigne son algèbre de
décomposition universelle définie
en \ref{definition-algebre-de-decomposition-universelle}, alors les
-éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$) y sont inversibles.
+éléments $Z_i - Z_j$ (modulo $I$, pour $i\neq j$) y sont inversibles.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Par symétrie, il suffit de le montrer pour $Z_1 - Z_2$. On a vu
@@ -1922,7 +1923,7 @@ k[Z_1,\ldots,Z_d]/J_i$, les $J_i$ sont donc premiers et $k[Y]/(h)
\begin{algorithme2}\label{algorithme-decomposition-ideal-radical-dimension-0}
Donné un idéal $I$ (défini par ses générateurs) de dimension $0$ de
$k[Z_1,\ldots,Z_d]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait factoriser
-les polynômes à une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver
+les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on peut trouver
les idéaux maximaux $J_i$ contenant $I$.
\end{algorithme2}
@@ -1992,7 +1993,45 @@ polynôme $f(Z_1)$
aussi, pour des raisons de symétrie entre les variables, chacun des
$f(Z_j)$, les images des $Z_j$ dans $K$ sont des racines du
polynôme $f$. Mais de plus, ces images sont deux à deux distinctes
-dans $K$ car \XXX
+dans $K$ car
+\ref{algebre-de-decomposition-universelle-separe-les-racines} implique
+que les $Z_j - Z_{j'}$ (pour $j\neq j'$) sont inversibles modulo $I$,
+donc \textit{a fortiori} modulo $J$ : donc ce sont exactement les
+racines de $f$ dans $K$. Bref, $K$ est un corps extension de $k$ et
+engendré au-dessus de $k$ par les $d$ racines du polynôme $f$ :
+c'est-à-dire que c'est « le » corps de décomposition de $f$ sur $k$.
+
+Le groupe de Galois de $f$ étant donc (\XXX --- référence précise) le
+groupe des automorphismes de $K$ au-dessus de $k$, il peut se voir
+comme le groupe des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui laissent
+l'idéal $J$ invariant ; connaissant une base de Gröbner de $J$, il est
+facile de tester si une permutation des variables le laisse invariant,
+il suffit de tester si la permutation appliquée à chaque élément de la
+base de Gröbner est encore dans l'idéal. On a donc montré :
+
+\begin{algorithme2}\label{algorithme-calcul-galois-par-base-de-groebner}
+Donné un polynôme $f \in k[X]$, avec $k$ parfait et infini, si on sait
+factoriser les polynômes en une variable à coefficients dans $k$, on
+sait calculer le groupe de Galois de $f$ comme le groupe des
+permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ qui fixent un idéal $J$ maximal
+contenant l'idéal $I$ des relations de l'algèbre de décomposition
+universelle de $f$ (explicité
+en \ref{relations-algebre-de-decomposition-universelle}) ; et de façon
+plus particulière (si on sait tester l'irréductibilité des polynômes à
+une variable à coefficients dans $k$), on sait tester si ce groupe de
+Galois est $\mathfrak{S}_d$ (en testant si $I$ est premier).
+\end{algorithme2}
+
+L'algorithme qu'on vient de présenter est à peu près équivalent au
+calcul du groupe de Galois par le moyen des résolvantes
+(\refext{Calculs}{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois})
+dans le cas des résolvantes \emph{linéaires}, à ceci près qu'on ne se
+contente pas de chercher à savoir si le groupe de Galois est ou n'est
+pas inclus dans tel ou tel groupe (disons, s'il est égal à
+$\mathfrak{S}_d$) mais qu'on va plus loin pour le connaître
+exactement, au prix de calculs de bases de Gröbner éventuellement très
+lourds.
+