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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-02 19:00:26 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-03-02 19:00:26 +0100
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[calculs] Transformations de Tschirnhaus sur des puissances d'un polynôme, et autres joyeusetés.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex146
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index f6ba798..694bbd8 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -576,7 +576,7 @@ celui-ci (i.e., de degré $\deg P$).
U(x)^2, \ldots, U(x)^{d-1}$ de $k(x) = k[X]/(X^d)$ en forment une
base. Lorsque $c_0 = 0$, la condition est évidemment $c_1 \neq 0$
puisque si c'est le cas les polynômes $U(x)^i$ sont échelonnés en
- degré et si ce n'est pas le cas les derniers d'entre eux sont nuls ;
+ valuation, et si ce n'est pas le cas les derniers d'entre eux sont nuls ;
et pour $c_0$ quelconque, on peut exprimer les polynômes $1,
U(x)-c_0, (U(x)-c_0)^2, \ldots$ en fonction de $1, U(x), U(x)^2,
\ldots$ par un système triangulaire de diagonale $1$, donc la
@@ -643,9 +643,16 @@ distinctes), alors $Q$ vaut $\prod_{i=1}^d (X-U(\xi_i))$ (comparer
avec \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} ci-dessous).
\end{remarques2}
+\begin{remarque2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-composee}
Soulignons que si $U$ est une transformation de Tschirnhaus sur $P$ et
$Q$ le polynôme transformé, on a $Q \circ U \equiv 0 \pmod P$ (ceci
-signifie exactement $Q(U(x)) = 0 \in k[X]/(P)$).
+signifie exactement $Q(U(x)) = 0 \in k[X]/(P)$). Réciproquement, si
+on a $Q \circ U \equiv 0 \pmod{P}$ \emph{et que $Q$ est irréductible}
+(sur $k$), de même degré que $P$, alors $U$ est une transformation de
+Tschirnhaus sur $P$ et $Q$ le polynôme transformé : en effet,
+l'hypothèse signifie $Q(U(x)) = 0 \in k[X]/(P)$, et puisque $Q$ est
+irréductible il est nécessairement minimal.
+\end{remarque2}
\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
Soient $P \in k[X]$ et $Q \in k[Y]$ deux polynômes unitaires de même
@@ -664,8 +671,9 @@ En particulier, donnée une transformation de Tschirnhaus $U \in k[X]$
transformant $P$ en $Q$, il existe (modulo $Q$) un unique polynôme $V
\in k[Y]$ tel que le polynôme composé $V \circ U$ soit congru à $X$
modulo $P$, et l'existence d'un tel polynôme $V$ pour un polynôme $U$
-donné implique que $U$ est bien une transformation de Tschirnhaus de
-$P$ en $Q$. Le polynôme $V$ est alors une transformation de
+donné implique que $U$ est bien une transformation de Tschirnhaus sur
+$P$ (en le $Q$ de même degré que $P$ tel que $Q \circ U \equiv 0
+\pmod{P}$). Le polynôme $V$ est alors une transformation de
Tschirnhaus de $Q$ en $P$, telle que l'isomorphisme $k[X]/(P) \to
k[Y]/(Q), \penalty-100\; B(x) \mapsto B(V(y))$ qu'il définit comme
expliqué ci-dessus soit réciproque de celui défini par $U$. Le
@@ -753,7 +761,7 @@ polynômes représentant la même transformation de Tschirnhaus sur $P$
représentent la même sur $Q$).
En revanche, si on considère les transformations de Tschirnhaus
-transformant un polynôme $P$ sur \emph{lui-même}, alors on a bien
+transformant un polynôme $P$ en \emph{lui-même}, alors on a bien
affaire à un groupe, et la
proposition \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
montre qu'il s'agit d'un groupe bien familier, à savoir celui des
@@ -797,11 +805,80 @@ l'identité $(\lambda,\mu) = (1,0)$ et l'unique autre transformation
$(\lambda,\mu) = (\frac{b^2+4c}{b^2-4c}, \frac{4bc}{b^2-4c})$.
Autrement dit, si $P$ est irréductible, son groupe de Galois est
$\ZZ/2\ZZ$, ce qu'on savait bien sûr déjà. (Lorsque $b^2-4c = 0$, en
-revanche, les transformations de Tschirnhausen de $P$ en $P$ sont tous
+revanche, les transformations de Tschirnhaus de $P$ en $P$ sont tous
les $(\lambda,\mu)$ tels que $\mu = \frac{b}{2}(\lambda-1)$ --- \XXX
revérifier ce truc.)
\end{exemple2}
+Pour généraliser le dernier exemple
+de \ref{exemples-transformations-de-tschirnhaus}, attachons-nous
+maintenant à déterminer les transformations de Tschirnhaus entre
+puissances de polynômes irréductibles. Commençons par identifier la
+manière dont on peut relever la transformation identité sur $P$ :
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-relevement-transformation-de-tschirnhaus-identite}
+Soit $P$ un polynôme unitaire sur un corps $k$, et soit $U$ un
+polynôme dans $k[X]$ tel que $U(X) \equiv X \pmod{P}$ : alors $U$
+définit une transformation de Tschirnhaus de $P^r$ en lui-même pour
+tout $r\geq 1$.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Puisque $U(X) \equiv X \pmod{P}$, on a $P\circ U \equiv 0 \pmod{P}$,
+disons $P\circ U = S P$ avec $S \in k[X]$, et ainsi $P^r \circ U = S^r
+P^r \equiv 0 \pmod{P^r}$. Ceci montre que $x \mapsto U(x)$ définit
+bien un morphisme $k[X]/(P^r) \to k[X]/(P^r)$. Il s'agit de voir que
+c'est un isomorphisme, et par égalité des dimensions sur $k$ il suffit
+de voir qu'il est injectif, c'est-à-dire que si $Q\circ U \equiv 0
+\pmod{P^r}$ avec $Q \in k[X]$ alors $Q \equiv 0 \pmod{P^r}$.
+
+Or, si $d = \deg P$, les polynômes $1,U,U^2,\ldots,U^{rd-1}$ sont
+échelonnés en valuation, donc ils forment une base de $k[X]/(P^r)$
+comme $k$-espace vectoriel. Ceci montre qu'aucun polynôme $Q$ de
+degré $<dr$ ne peut annuler $U(x) \in k[X]/(P^r)$, et comme on a vu
+que le polynôme $P^r$ annule $U(x) \in k[X]/(P^r)$, il est bien le
+polynôme minimal.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{relevement-transformation-de-tschirnhaus}
+Soient $P,Q$ deux polynômes unitaires sur un corps $k$, et soit $r\geq
+1$. Si un polynôme $U$ définit une transformation de Tschirnhaus de
+$P$ en $Q$, alors $U$ définit aussi une transformation de Tschirnhaus
+de $P^r$ en $Q^r$ et réciproquement.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons que $U$ définisse une transformation de Tschirnhaus de $P$
+en $Q$, et soit $V$ la transformation réciproque : on a alors $V\circ
+U \equiv X \pmod{P}$
+(cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}).
+Le lemme précédent montre que $V\circ U$ définit une transformation de
+Tschirnhaus de $P^r$ sur lui-même : si $W$ est sa réciproque, on a
+$W\circ V\circ U \equiv X \pmod{P^r}$, ce qui montre que $U$ définit
+une transformation de Tschirnhaus sur $P^r$, et puisque $Q^r \circ U =
+(Q\circ U)^r \equiv 0 \pmod{P^r}$, le polynôme transformé est
+bien $Q^r$.
+
+La réciproque est plus simple : si $U$ définit une transformation de
+Tschirnhaus de $P^r$ en $Q^r$, et si $V$ en est la transformation
+réciproque, on a $V \circ U \equiv X \pmod{P^r}$ donc en particulier
+$V\circ U \equiv X \pmod{P}$, ce qui montre que $U$ définit une
+transformation de Tschirnhaus sur $P$, et puisque $(Q\circ U)^r = Q^r
+\circ U \equiv 0 \pmod{P^r}$, on a le polynôme $Q\circ U$ divise $P$,
+donc le polynôme transformé est bien $Q$.
+\end{proof}
+
+On prendra garde à la signification de cette proposition :
+\emph{toute} façon de relever à $P^r$ une transformation de
+Tschirnhaus de $P$ en $Q$ définit une transformation de Tschirnhaus de
+$P^r$ en $Q^r$, il n'y en a pas une qui soit privilégiée. Et il faut
+bien se garder de croire (comme le lemme, et surtout sa démonstration,
+l'explicitent) qu'en relevant arbitrairement deux transformations de
+Tschirnhaus réciproques entre $P$ et $Q$ on obtienne deux
+transformations de Tschirnhaus réciproques entre $P^r$ et $Q^r$.
+
+\medbreak
+
+Intéressons-nous maintenant à la relation d'équivalence définie par
+l'existence d'une transformation de Tschirnhaus :
\begin{definition2}\label{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}
Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires de même degrés à coefficients
dans un corps $k$, on dit qu'ils sont Tschirnhaus-équivalents
@@ -813,6 +890,63 @@ transformant en $Q$
de $Q$ le transformant en $P$.
\end{definition2}
+\begin{proposition2}\label{polynomes-irreductibles-tschirnhaus-equivalents}
+Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires \emph{irréductibles} à
+coefficients dans un corps $k$. Alors les affirmations suivantes sont
+équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item les polynômes $P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents,
+\item les corps de rupture $k[X]/(P)$ et $k[Y]/(Q)$ de $P$ et $Q$ sont
+ isomorphes,
+\item les polynômes $P$ et $Q$ sont de même degré, et le corps de
+ rupture $k[X]/(P)$ de $P$ contient une racine de $Q$,
+\item les polynômes $P$ et $Q$ sont de même degré, et il existe $U \in
+ k[X]$ tel que $Q\circ U \equiv 0 \pmod{P}$.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'équivalence entre les deux premières affirmations est contenue
+dans \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}.
+L'équivalence avec la dernière affirmation a été remarquée
+en \ref{transformation-de-tschirnhaus-et-composee}, et l'équivalence
+entre les deux dernières est évidente.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{polynomes-decomposes-tschirnhaus-equivalents}
+Soient $P,Q$ deux polynômes unitaires à coefficients dans un
+corps $k$, dont on note $P = \prod_{i=1}^k P_i^{v_i}$ et $Q =
+\prod_{j=1}^\ell Q_j^{w_j}$ les décompositions en facteurs
+irréductibles (unitaires), les $P_i$ (resp. les $Q_j$) étant supposés
+deux à deux distincts. Alors $P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents
+si et seulement si $k=\ell$ et qu'il existe une bijection $\sigma$
+entre l'ensemble des $P_i$ et l'ensemble des $Q_j$ telle que pour tout
+$i$ on ait $w_{\sigma(i)} = v_i$ et $Q_{\sigma(i)}$
+Tschirnhaus-équivalent à $P_i$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La condition annoncée est suffisante : si $U_i$ est une transformation
+de Tschirnhaus de $P_i$ en $Q_{\sigma(i)}$, on a vu dans la
+proposition \ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus} que $U_i$
+définit encore une transformation de Tschirnhaus de $P_i^{v_i}$ en
+$Q_{\sigma(i)}^{v_i} = Q_{\sigma(i)}^{w_{\sigma(i)}}$. En combinant
+ces transformations au moyen de la
+proposition \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit}, il
+existe bien une transformation de Tschirnhaus de $P$ sur $Q$.
+
+La condition annoncée est nécessaire : si $U$ est une transformation
+de Tschirnhaus sur $P$,
+d'après \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit} elle
+définit une transformation de Tschirnhaus sur chaque facteur
+$P_i^{v_i}$, et si on note $R_i$ le polynôme transformé, on a $Q =
+\prod R_i$ ; or on sait d'après
+\ref{relevement-transformation-de-tschirnhaus} que $R_i$ s'écrit
+$S_i^{v_i}$ pour un certain polynôme $S_i$ qui est un transformé de
+Tschirnhaus de $P_i$, donc irréductible. La conclusion est alors
+claire.
+\end{proof}
+
+\XXX --- Relire cette démonstration. Tout ceci est un peu merdique.
+
\begin{remarque2}
On a vu en \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois} que si
$P$ et $Q$ sont Tschirnhaus-équivalents, alors ils ont même corps de