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author | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-05-04 15:27:10 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-05-04 15:27:10 +0200 |
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[calculs] Réécriture de la stratégie générale d'utilisation des résolvantes.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 74 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index d76283a..3ff94e7 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -1461,32 +1461,54 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$). \subsection{Utilisation de la notion de résolvante} -La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du -groupe de Galois d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ -est la suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison -près, tous les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les -inclusions entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver -seront esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces -sous-groupes, déterminer une résolvante dont la réductibilité ou non -assure (en utilisant la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}) -que le groupe de Galois appartient au sous-groupe en question -(généralement en supposant qu'il est déjà connu comme appartenant à -tel ou tel sous-groupe $\mathfrak{G}$ plus grand, ce qui permet -d'utiliser la notion de résolvante dans $\mathfrak{G}$) : ces deux -premières étapes s'effectuent pour un polynôme général ; puis, -connaissant le polynôme $f$ dont il s'agit de déterminer le groupe de -Galois, il suffit de calculer les valeurs des résolvantes -prédéterminées et de chercher à les factoriser (la -proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous -assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les -rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des algorithmiques -plus efficaces que ceux, complètement théoriques, exposés dans la -preuve de celle-ci). - -\XXX --- À expliquer : pourquoi on risque d'avoir besoin de -transformations de Tschirnhausen et pourquoi elles conviennent ; et ce -qui va se passer pour évaluer des résolvantes dans $\mathfrak{G}$ (pas -très clair dans ma tête, ça). +La notion de résolvante nous permet d'esquisser la stratégie générale +suivante pour le calcul algorithmique en pratique du groupe de Galois +d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$ : + +\begin{itemize} + +\item Dans un premier temps classifier, à conjugaison près, tous les + sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les inclusions entre + eux (certaines techniques permettant d'y arriver seront esquissées + au chapitre suivant). + +\item Pour chacun de ces sous-groupes $H$, déterminer un polynôme $P$ + (généralement choisi de degré aussi petit que possible) tel que + $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ + (cf. \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}), ce qui définit une + résolvante générale $R_P$ associée + (cf. \ref{definition-resolvante}). En général, on ne cherchera pas + à calculer $R_P$ comme polynôme des variables $X,Z_1,\ldots,Z_d$ + mais seulement à se donner les moyens de calculer $R_P(f)$ pour $f$ + un polynôme unitaire de degré $d$ fixé. Par ailleurs, si $H$ est + inclus dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$ plus grand, il est souvent + plus efficace de se contenter d'une résolvante $R_{\mathfrak{G},P}$ + dans $\mathfrak{G}$. On remarquera que ces deux premières étapes ne + font pas encore appel à la connaissance du polynôme $f$ dont on + cherche à calculer le groupe de Galois. + +\item Donné le polynôme $f$, pour chaque résolvante $R_P$ préparée à + l'étape précédente, calculer $R_P(f)$ et factoriser ce polynôme (la + proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous + assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les + rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des + algorithmiques plus efficaces que ceux, complètement théoriques, + exposés dans la preuve de celle-ci), ou au moins en calculer les + racines dans $K$. Lorsque $R_P(f) \in K[X]$ est séparable (ce qui + est « le plus souvent » le cas), la + proposition \ref{utilisation-des-resolvantes} donne alors des + informations sur le groupe de Galois $G$ de $f$. + +\item Lorsque, dans l'étape précédente, $R_P(f)$ n'est pas séparable, + choisir une transformation de Tschirnhaus aléatoire sur $f$ + (cf. \ref{remarques-calcul-transformation-de-tschirnhaus}), ce qui + fournit un polynôme $f^\$$ ayant même groupe de Galois que $f$ + (cf. \ref{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}) mais dont + on peut espérer que $R_P(f^\$)$ ne présente plus le problème d'avoir + des racines multiples ; sinon, répéter jusqu'à ce que ce soit le + cas. + +\end{itemize} \section{Calculs en petits degrés} |