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path: root/chapitres
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 15:18:23 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-09 15:18:23 +0100
commit80fb4bdfb38cd5ceaca22f2572259fa7eafefc1c (patch)
tree9bcc323f81e468f5e686db4f18c063706f858f2a /chapitres
parent58e69ca83e392a3a3cf4d62b9b951f5e9f796194 (diff)
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[calculs] Comment relier Q à δ.
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex33
1 files changed, 32 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 42c2df6..4d37258 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2591,7 +2591,7 @@ $\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible
seule façon dont cette résolvante puisse être réductible (si elle est
séparable), c'est d'avoir une racine.
-Il est facile de relier $P$ à $Q$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
+Il est facile de relier $Q$ à $P$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q +
\sigma_1 \sigma_3 - 3 \sigma_4$ (avec $\sigma_i$ les fonctions
symétriques élémentaires de $Z_1,\ldots,Z_5$), c'est-à-dire que la
résolvante dans $D_5$ relativement à $Q$ vaut $R_{D_5,Q}(f) = X^2 -
@@ -2604,6 +2604,37 @@ intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon probablement déjà testé
au préalable si le groupe de Galois de $f$ est inclus dans
$\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$.
+En caractéristique différente de $2$, on peut également relier $Q$ au
+discriminant $\delta = \prod_{i<j}(Z_i-Z_j)$ : on a $Q^6 - 3 \sigma_2
+Q^5 + (3 \sigma_2^{2} + 2 \sigma_1 \sigma_3 - 5 \sigma_4) Q^4 + (-
+\sigma_2^{3} - 4 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 + 10 \sigma_2 \sigma_4)
+Q^3 + (2 \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_3 + \sigma_1^{2} \sigma_3^{2} +
+\sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_4 - 4 \sigma_1^{3} \sigma_5 + \sigma_2
+\sigma_3^{2} - 8 \sigma_2^{2} \sigma_4 - 7 \sigma_1 \sigma_3 \sigma_4
++ 15 \sigma_1 \sigma_2 \sigma_5 + 15 \sigma_4^{2} - 25 \sigma_3
+\sigma_5) Q^2 + (- \sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_3^{2} - \sigma_1^{2}
+\sigma_2^{2} \sigma_4 + 4 \sigma_1^{3} \sigma_2 \sigma_5 -
+\sigma_2^{2} \sigma_3^{2} + 3 \sigma_2^{3} \sigma_4 + 7 \sigma_1
+\sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 - 15 \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_5 - 15
+\sigma_2 \sigma_4^{2} + 25 \sigma_2 \sigma_3 \sigma_5 - \delta) Q +
+\sigma_1^{3} \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 - \sigma_1^{4} \sigma_4^{2} -
+\sigma_1^{3} \sigma_2^{2} \sigma_5 + \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3^{3} -
+\frac{7}{2} \sigma_1 \sigma_2^{2} \sigma_3 \sigma_4 - 2 \sigma_1^{2}
+\sigma_3^{2} \sigma_4 + \frac{7}{2} \sigma_1^{2} \sigma_2 \sigma_4^{2}
++ \frac{9}{2} \sigma_1 \sigma_2^{3} \sigma_5 - 3 \sigma_1^{2} \sigma_2
+\sigma_3 \sigma_5 + 6 \sigma_1^{3} \sigma_4 \sigma_5 - \sigma_3^{4} +
+\frac{7}{2} \sigma_2 \sigma_3^{2} \sigma_4 + \sigma_2^{2} \sigma_4^{2}
+- \sigma_1 \sigma_3 \sigma_4^{2} - \frac{15}{2} \sigma_2^{2} \sigma_3
+\sigma_5 + 10 \sigma_1 \sigma_3^{2} \sigma_5 - 10 \sigma_1 \sigma_2
+\sigma_4 \sigma_5 - 25 \sigma_1^{2} \sigma_5^{2} + 5 \sigma_4^{3} - 25
+\sigma_3 \sigma_4 \sigma_5 + \frac{125}{2} \sigma_2 \sigma_5^{2} +
+\frac{1}{2} \sigma_2 \delta = 0$. Cette expression définit donc, pour
+$f$ un polynôme de degré $5$ irréductible et dont le discriminant
+$\prod_{i<j} (\xi_i - \xi_j)$ soit un carré non nul, un polynôme
+$R_{\mathfrak{A}_5,Q}(f)$ de degré $6$ qui admet une racine si, et
+lorsqu'il est séparable seulement si, le groupe de Galois $G$ de $f$
+est inclus dans $D_5$.
+
\ifx\danslelivre\undefined