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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-03-01 00:20:54 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2013-03-01 00:20:54 +0100 |
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diff --git a/chapitres/groupes-permutations.tex b/chapitres/groupes-permutations.tex index 9ce5693..720e041 100644 --- a/chapitres/groupes-permutations.tex +++ b/chapitres/groupes-permutations.tex @@ -1,27 +1,13 @@ %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined -\documentclass[9pt]{../configuration/smfart} -\input{../configuration/commun} -\input{../configuration/smf} -\input{../configuration/adresse} -\input{../configuration/gadgets} -\input{../configuration/francais} -\input{../configuration/numerotation} -\input{../configuration/formules} -\input{../configuration/encoredesmacros} -\usepackage{stmaryrd} -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{srcltx} - +\documentclass[a4paper,9pt]{amsart} +\input{../config/preambule} +\input{../config/macros} +\title{Notions sur les groupes de permutations} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{exemples-galois} - -\title{Notions sur les groupes de permutations} - \begin{document} \maketitle -\setcounter{tocdepth}{2} \tableofcontents \else \chapter{Notions sur les groupes de permutations} @@ -1233,12 +1219,12 @@ Alors $G$ contient $𝔄_n$. Nous ferons usage de la terminologie suivante : -\begin{dfn2} +\begin{définition2} Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles -$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$ -sont $\vide,X$, et les singletons. -\end{dfn2} +$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\varnothing,Y\}$ +sont $\varnothing,X$, et les singletons. +\end{définition2} De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de partition\footnote{En particulier, par définition, chaque constituant est non vide.} @@ -1283,13 +1269,13 @@ Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique. \item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$, il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$. En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et -remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$. +remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \varnothing$, alors $g'(E)=E$. (Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.) \item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.) -\item Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui +\item Soit $F'=F\cap g(F)$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence. \end{itemize} \end{proof} @@ -1329,15 +1315,17 @@ de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$. \section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre} +\subsection{\XXX} + Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois $G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de $𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part, -il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est +il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité si et seulement si $G$ n'est contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$. -\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4} +\begin{proposition2}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4} \begin{enumerate} \item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$ @@ -1346,7 +1334,7 @@ des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$ les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$. \end{enumerate} -\end{proposition} +\end{proposition2} \begin{démo} \begin{enumerate} @@ -1377,16 +1365,16 @@ possibilités sont celles de l'énoncé. Le théorème suivant est une généralisation de la proposition \ref{Gal(deg 3)=cyclique}. -\begin{théorème} +\begin{théorème2} Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et $G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant. \begin{enumerate} -\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et +\item $G⊆𝔄_R$ si et seulement si $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et $Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ; -\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi +\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine si et seulement si $f$ a une racine dans $k$ ; -\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante +\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ si et seulement si la \emph{résolvante cubique} \[ g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)= @@ -1396,7 +1384,7 @@ a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les pseudo-discriminants coïncident également. \end{enumerate} -\end{théorème} +\end{théorème2} \begin{démo} |