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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 17:35:15 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 17:35:15 +0100
commit81ccd8bfeb023b3a1e0fba7ed1a39538d9f45dfe (patch)
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[calculs] Exposition de la stratégie générale d'utilisation des résolvantes.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex33
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index afda99a..3264c3b 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -196,7 +196,7 @@ proposition suivante justifie que c'est le cas pour $\QQ$ ainsi que
pour tout corps pour lequel on sait (faire des calculs et) factoriser
les polynômes à une seule indéterminée.
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique}
Les problèmes suivants sont résolubles algorithmiquement (i.e.,
décidables au sens de Church-Turing) :
\begin{itemize}
@@ -438,7 +438,7 @@ totalement symétrique dans les $Z_i$.
La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{utilisation-des-resolvantes}
Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
@@ -506,6 +506,35 @@ seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
+
+La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du
+groupe de Galois d'un polynôme $f$ irréductible de degré $d$ est la
+suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison près, tous
+les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les inclusions
+entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver seront
+esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces
+sous-groupes, déterminer une résolvante dont la réductibilité ou non
+assure (en utilisant la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes})
+que le groupe de Galois appartient au sous-groupe en question
+(généralement en supposant qu'il est déjà connu comme appartenant à
+tel ou tel sous-groupe $\mathfrak{G}$ plus grand, ce qui permet
+d'utiliser la notion de résolvante dans $\mathfrak{G}$) : ces deux
+premières étapes s'effectuent pour un polynôme général ; puis,
+connaissant le polynôme $f$ dont il s'agit de déterminer le groupe de
+Galois, il suffit de calculer les valeurs des résolvantes
+prédéterminées et de chercher à les factoriser (la
+proposition \ref{factorisation-des-polynomes-est-algorithmique} nous
+assure que ceci est algorithmique pour les polynômes sur les
+rationnels : en pratique, il faut bien sûr chercher des algorithmiques
+plus efficaces que ceux, complètement théoriques, exposés dans la
+preuve de celle-ci).
+
+\XXX --- À expliquer : pourquoi on risque d'avoir besoin de
+transformations de Tschirnhausen et pourquoi elles conviennent ; et ce
+qui va se passer pour évaluer des résolvantes dans $\mathfrak{G}$ (pas
+très clair dans ma tête, ça0).
+
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