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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 18:24:39 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 18:24:39 +0200
commit844e3573ae137c3bec339663879043c2c5250d49 (patch)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex78
1 files changed, 65 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index a203804..50d3c85 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1629,7 +1629,7 @@ Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
et [...] que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
-est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{+∞\}$, où
+est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
$\Specmax(𝐅_p[t])$. \XXX
@@ -1689,8 +1689,6 @@ Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\XXX
\end{démo}
-\ \[⁂\]
-
\subsubsection{}
\subsection{}
@@ -2200,6 +2198,12 @@ aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
\[
∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
\]
+\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
+Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
+on a :
+\[
+∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a).
+\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -2211,16 +2215,63 @@ Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
Cf. Goldstein, p. 150.
-\subsection{Théorème de Riemann-Roch}
+\begin{démo}
+(iii) Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$ et $Γ$
+son sous groupe discret cocompact $K$. Soit $f$ une fonction
+sur $G$ comme dans l'énoncé.
+Sur chaque compact de $G$, la série de fonction
+$∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge normalement et uniformément. \XXX
+La fonction sur $G$ ainsi obtenue est $Γ$-périodique par
+construction ; notons $F$ la fonction continue induite sur
+le quotient (compact) $G \bo Γ$. Les caractères $π$
+de $G \bo Γ$ séparent les points, comme nous l'avons vu
+en \ref{Pontrâgin pour les adèles}. D'après le théorème de
+Stone, l'espace vectoriel engendré par les caractères de $G \bo Γ$ dans l'ensemble
+des fonctions continues sur ce même espace est donc
+dense pour la topologie de la convergence uniforme.
+(Notons qu'il contient les constantes.)
+Ainsi on peut écrire :
+\[
+∑_{γ ∈ Γ} f(\tiret +γ)=F= ∑_{π ∈ \chap{G \bo Γ}} c_π(F) π.
+\]
+En conséquence, on a
+\[
+∑_γ f(γ)=∑_{π ∈ \chap{G \bo Γ}} c_π(F).
+\]
+D'autre part,
+\[
+c_π(F)=∫_{G \bo Γ} F ⋅ π^{-1}   d μ_{G\bo Γ}
+\]
+où $μ_{G\bo Γ}$ est la mesure de Haar de masse totale unité.
+Cela résulte de la formule d'orthogonalité des
+caractères.\XXX
+On conclut en remarquant que
+\[
+ℱ_ψ(f)(x)= ∫_G f ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
+=∫_{G\bo Γ} F ψ_{-x} d  μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}
+\]
+etc. [Noter $ψ_x=\chap{x}$ ?] \XXX
+(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
+$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
+\end{démo}
-\begin{théorème2}
-\label{Poisson-Riemann-Roch}
-Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
-on a :
-\[
-∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a).
-\]
-\end{théorème2}
+\begin{remarque2}Démonstration de la formule de Poisson dans
+le cas des corps de nombres (esquisse) ; cf. \cite{Elements@Colmez})
+Par linéarité, on peut supposer que
+$f=f_∞ ⊗ ⨂_{x ∈ Σ^u(𝐐} 𝟭_{a_x+ϖ_x^{n_x}}$.
+Il existe $a ∈ 𝐐$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_𝐀$ pour tout $x$ (cf. \ref{}).
+En conséquence, $f=f_∞ ⊗ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀}$ où $P=∏_x ϖ_x^{n_x}$.
+Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
+que
+\[ℱ(f_∞ ⊗ 𝟭_{a+P 𝒪_𝐀})=ℱ_{ψ_∞}(f_∞)/|a|_∞ ⊗
+𝟭_{-a+P^{-1}𝒪_𝐀},\]
+où $ℱ$ est calculé relativement
+au caractère canonique.
+Finalement, on se ramène au cas de la formule
+de Poisson archimédienne ! Dans le cas des corps de
+fonctions cette méthode nous ramène au théorème de Riemann-Roch
+énoncé ci-après.
+\end{démo}
\subsection{Premières applications}
@@ -2713,7 +2764,8 @@ Utilise :
Pour la transformation de Fourier :
\cite{Bushnell-Henniart} (d'où on a tiré
-la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale), \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F].
+la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale), \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F]
+(notamment pour la formule de Poisson adélique).
\ifx\danslelivre\undefined