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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 17:05:47 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-02-09 17:05:47 +0100
commit8484415797cc80b389567ba6e59dd6365554ec5b (patch)
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[calculs] Transformations de Tschirnhaus et isomorphismes de corps de rupture et de décomposition.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex70
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index 4bcb419..75a4257 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -584,6 +584,76 @@ résultants et d'utiliser des techniques spécifiques à eux comme
l'algorithme du sous-résultant.
\end{remarques2}
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-et-isomorphisme-de-rupture}
+Soient $P \in k[X]$ et $Q \in k[Y]$ deux polynômes unitaires
+irréductibles et séparables, de même degré : on notera $k[X]/(P)$ et
+$k[Y]/(Q)$ leurs corps de rupture et $x,y$ les classes des
+indéterminées $X,Y$ dans ceux-ci respectivement.
+
+Alors la donnée d'une transformation de Tschirnhaus $U$ transformant
+$P$ en $Q$ équivaut à la donnée d'un isomorphisme $k[Y]/(Q) \to
+k[X]/(P)$ des corps de ruptures (en tant que $k$-algèbres),
+l'isomorphisme étant donné à partir de la transformation $U$ par $A(y)
+\mapsto A(U(x))$, et réciproquement $U$ étant déterminé (modulo $P$) à
+partir de l'isomorphisme $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ comme l'image de la
+classe $y$ de $Y$ par celui-ci.
+
+En particulier, donnée une transformation de Tschirnhaus $U \in k[X]$
+transformant $P$ en $Q$, il existe (modulo $Q$) un unique polynôme $V
+\in k[Y]$ tel que le polynôme composé $V \circ U$ soit congru à $X$
+modulo $P$, et l'existence d'un tel polynôme $V$ pour un polynôme $U$
+donné implique que $U$ est bien une transformation de Tschirnhaus de
+$P$ en $Q$. Le polynôme $V$ est alors une transformation de
+Tschirnhaus de $Q$ en $P$, telle que l'isomorphisme $k[X]/(P) \to
+k[Y]/(Q), \penalty-100\; B(x) \mapsto B(V(y))$ qu'il définit comme
+expliqué ci-dessus soit réciproque de celui défini par $U$. Le
+polynôme $U \circ V$ est congru à $Y$ modulo $Q$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+À cause des propriétés catégoriques (universelles) des anneaux de
+polynômes et anneaux quotients, la donnée d'un morphisme de
+$k$-algèbres $k[Y]/(Q) \to k[X]/(P)$ est exactement équivalente à la
+donnée de l'image $\theta$ de $y$ par celui-ci, qui doit être racine
+de $Q$ dans $k[X]/(P)$, l'image d'un élément $A(y)$ quelconque de
+$k[Y]/(Q)$ étant alors $A(\theta)$. Dire que le morphisme en question
+est un isomorphisme (c'est-à-dire, qu'il est injectif ou, de façon
+équivalente, surjectif) signifie que tout élément de $k[X]/(P)$ est
+polynôme en $\theta$, c'est-à-dire que $\theta$ est primitif, donc
+définisse une transformation de Tschirnhaus (sous la forme $\theta =
+U(x)$). Ceci équivaut aussi au fait que $x$ puisse s'écrire sous la
+forme $V(\theta)$, c'est-à-dire qu'on puisse trouver $V$ tel que
+$V(U(x))=x$. Les différentes affirmations de la propositions sont
+alors toutes claires.
+\end{proof}
+
+La transformation de Tschirnhaus $V$ de $Q$ en $P$ définie par la
+proposition précédente à partir d'une transformation de
+Tschirnhaus $U$ de $P$ en $Q$ s'appelle la transformation de
+Tschirnhaus \emph{réciproque} de $U$.
+
+\begin{proposition2}\label{transformation-de-tschirnhaus-preserve-galois}
+Soit $Q$ un polynôme obtenu à partir d'un polynôme $P \in k[X]$
+unitaire irréductible et séparable par une transformation de
+Tschirnhaus définie par un polynôme $U$. Alors le corps de
+décomposition de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$, et le
+groupe de Galois de $Q$ sur $k$ est isomorphe à celui de $P$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Soit $E$ un corps de décomposition de $P$, et soient
+$\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines (deux à deux distinctes) de ce
+dernier dans $E$ (qui l'engendrent). Alors chacun des éléments
+$U(\xi_i)$ est racine de $Q$ (car $k(\xi_i)$ est un corps de rupture
+de $P$, donc isomorphe à $k[X]/(P)$, ce qui permet d'affirmer que $Q$
+est bien le polynôme minimal de $U(\xi_i)$). En introduisant $V$ la
+transformation de Tschirnhaus réciproque de $U$, on a $V(U(\xi_i)) =
+\xi_i$ pour chaque $i$ puisque $V\circ U$ est congru à $X$
+modulo $P$ : ceci permet d'affirmer que les racines $U(\xi_i)$ de $Q$
+sont deux à deux distinctes, donc que $E$, qui les contient, scinde le
+polynôme $Q$, et comme les $U(\xi_i)$ engendrent les $\xi_i$ (on vient
+de le voir) donc tout $E$, le corps $E$ est aussi corps de
+décomposition de $Q$. Ceci prouve tout ce qu'on voulait.
+\end{proof}
+
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du