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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 16:28:18 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 16:28:18 +0200
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex173
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index b90e7ea..69cf35c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -987,8 +987,8 @@ construire des polynômes invariants par $H$ et qui « séparent » deux
points dont les coordonnées ne sont pas images l'une de l'autre par
l'action de $H$.
-Le lemme suivant est évident, mais nous le démontrons pour en
-souligner le caractère constructif :
+Le lemme suivant est évident (et très loin d'être optimal), mais nous
+le démontrons pour en souligner le caractère constructif :
\begin{lemme2}\label{interpolation-de-lagrange-en-d-variables}
Soit $K$ un corps, soient $x_1,\ldots,x_r \in K^d$ des $d$-uplets deux
à deux distincts d'éléments de $K$, et soient $y_1,\ldots,y_r \in K$
@@ -1064,13 +1064,18 @@ moins un, appelons-le $Q$, tel que $Q(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq
Q(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Ceci montre que (ii) n'est pas vérifié.
\end{proof}
-\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable}
-Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
-corps $K$, irréductible dans $K[X]$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$
-les racines comptées avec multiplicité dans un corps de
-décomposition $L$. Alors, pour $H$ un sous-groupe de
-$\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
+La proposition suivante montre que l'étude des fractions rationnelles
+invariantes par un sous-groupe $H$ de $\mathfrak{S}_d$ peut
+généralement se ramener à l'étude des polynômes :
+\begin{proposition2}\label{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles}
+Soit $K$ un corps, et $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ une extension de $K$
+engendrée par $d$ éléments $\xi_1,\ldots,\xi_d$. Alors, pour $H$ un
+sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont
+équivalentes :
\begin{enumerate}
+\item pour toute orbite $\Omega$ de $H$ agissant sur les monômes en
+ les variables $Z_1,\ldots,Z_d$, on a $\sum_{M\in\Omega}
+ M(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
\item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$
(c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) =
P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$) on a
@@ -1079,13 +1084,15 @@ $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes :
invariante par $H$ (c'est-à-dire telle que
$R(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = R(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que
$\sigma\in H$) et dont le dénominateur ne s'annule pas en
- $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ;
-\item \XXX
+ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, on a $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique
-(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
+Le fait que (ii) implique (i) est trivial, et l'implication réciproque
+résulte de la remarque \ref{base-des-polynomes-invariants}.
+
+Le fait que (iii) implique (ii) est trivial. Montrons que (ii) implique
+(iii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur
commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui
donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $H$. Pour chaque
@@ -1099,35 +1106,96 @@ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in H}
\prod_{\sigma\in H} \sigma(P) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma^{-1})
P$, on a $P^*/Q^* = P/Q = R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en
$(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux
-invariants par $H$, la conclusion du (i) permet d'affirmer que
+invariants par $H$, la conclusion du (ii) permet d'affirmer que
$R(\xi_1,\ldots,\xi_d) =
P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
\end{proof}
+Même si la proposition est énoncée avec $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+quelconques, nous nous intéresserons à la situation ci-dessus dans le
+cas où $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines comptées avec
+multiplicité d'un polynôme $f \in K[X]$ dont $L$ est, donc, le corps
+de décomposition. Autrement dit, nous nous poserons la
+\begin{question2}\label{question-trouver-critere-polynomes-invariants}
+Soit $f \in K[X]$ un polynôme de degré $d$ à coefficients dans un
+corps $K$, dont on note $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont les racines comptées
+avec multiplicité dans un corps de décomposition $L =
+K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et soit $H$ un sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$. À quelle condition sur $f$ et $H$ peut-on dire que
+l'affirmation suivante est vérifiée ?
+\begin{itemize}
+\item[($*$)] Pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant
+ par $H$ (c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})
+ = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$), on a
+ $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$.
+\end{itemize}
+(Autrement dit : trouver des conditions équivalentes à celles de la
+proposition ci-dessus.)
+\end{question2}
+
\begin{remarque2}
-Il est tentant de comparer le (ii) de la proposition ci-dessus
+Il est tentant, pour répondre à la question, de comparer le (iii) de la
+proposition \ref{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles}
avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait
qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) =
H$, et que si $P$ est un tel polynôme, alors le corps $F(P)$ qu'il
-engendre au-dessus du corps $K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ des
+engendre au-dessus du corps $F = K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ des
fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
-précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes
-par $H$ : on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
-$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ suffit à entraîner la conclusion (ii) de
-la dernière proposition. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$
-est un corps de caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension
-purement inséparable de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique
-$\xi$ d'un élément $a \in K$ qui ne soit pas un cube dans $K$, si on
-pose $d=3$ et $H = \ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les
-indéterminées $Z_2$ et $Z_3$, et $P = Z_2 Z_3^2 + Z_2^2 Z_3$ qui
-vérifie bien $\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = H$, on peut
-écrire $Z_1 = \frac{\sigma_1 \sigma_3}{\sigma_3 + P} \in F(P)$ où
-$\sigma_1 = Z_1+Z_2+Z_3$ et $\sigma_3 = Z_1 Z_2 Z_3$, on a bien
-$P(\xi,\xi,\xi) = 2 \xi^3 \in K$, et pourtant $Z_1$ prend en
-$(\xi,\xi,\xi)$ une valeur ($\xi$) qui n'appartient pas à $K$,
-c'est-à-dire que la conclusion (i) ou (ii) ne tient pas.
+précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes par $H$ :
+on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ implique l'affirmation ($*$) de la
+question. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$ est un corps de
+caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension purement inséparable
+de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique $\xi$ d'un élément $a \in
+K$ qui ne soit pas un cube dans $K$, si on pose $d=3$ et $H =
+\ZZ/2\ZZ$ opérant en échangeant les indéterminées $Z_2$ et $Z_3$, et
+$P = Z_2 Z_3^2 + Z_2^2 Z_3$ qui vérifie bien
+$\Stab_{\mathfrak{S}_3}(P) = H$, on peut écrire $Z_1 = \frac{\sigma_1
+ \sigma_3}{\sigma_3 + P} \in F(P)$ où $\sigma_1 = Z_1+Z_2+Z_3$ et
+$\sigma_3 = Z_1 Z_2 Z_3$, on a bien $P(\xi,\xi,\xi) = 2 \xi^3 \in K$,
+et pourtant $Z_1$ prend en $(\xi,\xi,\xi)$ une valeur ($\xi$) qui
+n'appartient pas à $K$, c'est-à-dire que la conclusion ($*$) ne tient
+pas.
\end{remarque2}
+Dans le cas où l'extension $L\bo K$ est séparable (donc galoisienne),
+la théorie de Galois fournit un critère simple et intuitif pour
+répondre à la
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} :
+\begin{proposition2}
+Sous les conditions de la
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants},
+supposons en outre que $f$ soit irréductible et séparable sur $K$.
+Alors l'affirmation ($*$) est équivalente à : $H$ contient le groupe
+de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ en opérant
+sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
+\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$
+opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
+pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
+invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
+de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
+
+Réciproquement, si $H$ ne contient pas le groupe de Galois $G$ de $f$,
+il existe $\sigma$ dans $G$ n'appartenant pas à $H$. Si on définit
+$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = (\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$,
+alors comme les $\xi_i$ sont distincts, $\sigma$ est l'unique élément
+de $\mathfrak{S}_d$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$, et d'après
+\ref{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis},
+il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
+$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, c'est-à-dire
+$\sigma(P(\xi_1,\ldots,\xi_d)) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois
+de $f$.
+\end{proof}
+
+Pour trouver une réponse à la question dans le cas de l'extraction
+d'une racine $p^e$-ième en caractéristique $p$, on aura besoin du
+résultat classique suivant :
\begin{proposition2}\label{transitivite-des-sylow}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de
cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe
@@ -1148,15 +1216,15 @@ sous l'action de $H$ : on a donc montré que cette orbite est $X$ tout
entier.
\end{proof}
-\begin{lemme2}
+\begin{proposition2}
Sous les conditions de la
-proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants},
supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
-X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
-tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$. Alors les affirmations de
-la proposition sont équivalentes à : $H$ opère
-transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
-\end{lemme2}
+X^{p^e}-a$ est irréductible, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+(avec $d=p^e$) sont tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$ de
+degré $p^e$ sur $K$. Alors l'affirmation ($*$) est équivalente à :
+$H$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
+\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons d'abord que $H$ opère transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
Soit $P$ un $p$-Sylow de $H$ : alors $P$ opère encore transitivement
@@ -1180,37 +1248,6 @@ pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de
degré $p^e$.
\end{proof}
-\begin{lemme2}
-Sous les conditions de la
-proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
-supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$. Alors les
-affirmations de la proposition sont équivalentes à : $H$ contient le
-groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ en
-opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$).
-\end{lemme2}
-\begin{proof}
-Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P
-\in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$
-opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
-pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
-invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
-de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
-$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
-
-Réciproquement, si $H$ ne contient pas le groupe de Galois $G$ de $f$,
-il existe $\sigma$ dans $G$ n'appartenant pas à $H$. Si on définit
-$(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) = (\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$,
-alors comme les $\xi_i$ sont distincts, $\sigma$ est l'unique élément
-de $\mathfrak{S}_d$ tel que $\xi'_i = \xi_{\sigma(i)}$, et d'après
-\ref{separation-des-points-du-quotient-de-l-espace-affine-par-des-permutations-bis},
-il existe $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ tel que
-$P(\xi'_1,\ldots,\xi'_d) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, c'est-à-dire
-$\sigma(P(\xi_1,\ldots,\xi_d)) \neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, donc
-$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois
-de $f$.
-\end{proof}
-
\subsection{Résolvantes}
\begin{definition2}\label{definition-resolvante}