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author | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-08 11:25:00 +0100 |
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committer | Fabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2013-02-08 11:25:00 +0100 |
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CG: Lemme de McCoy-永田 et application au lemme de Gauß
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-rw-r--r-- | chapitres/correspondance-galois.tex | 43 |
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index b07cd5b..002acf3 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1173,6 +1173,49 @@ Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$. \end{démo} +\subsection{Contenu} + +[À déplacer/modifier : simple copier-coller d'exos à l'X] \XXX + +\begin{lemme2}(Lemme de McCoy-\jap{永田}) +Soit $A$ un anneau commutatif. +Un polynôme $P ∈ A[X]$ non nul est diviseur de +zéro si et seulement si il existe $a ≠ 0$ dans $A$ tel que +$aP=0$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Écrivons $P=a₀+a₁X + \cdots + a_n X^n$ et considérons +$Q=b₀+b₁X+\cdots+b_mX^m ≠ 0$ tel que $PQ=0$. Montrer que si +$P b_m≠ 0$, il existe un plus grand indice $d ≤ n$ tel que +$a_d Q ≠ 0$. +Le degré de $a_d Q$ est strictement inférieur à $m$. +Conclure par récurrence sur le degré de $Q$. \XXX +\end{démo} + +\subsubsection{Lemme de Gauß universel} +Soient $n$ et $m $ des entiers +et $R$ l'anneau quotient de $𝐙[a₀,…,a_n,b₀,…,b_m,A₀,…,A_n,B₀,…,B_m]$ +par l'idéal engendré par les éléments $1-∑_0^n a_i A_i$, +$1-∑_0^m b_m B_m$ et les $∑_{i+j=k} A_i B_j$ pour $0 ≤ k ≤ n+m$. +Enfin, soient $A=∑_0^n \overline{A_i} X^i$ et $B=∑_0^m +\overline{B_j} X^j$ les polynômes dans $R[X]$. +Par construction, $AB=0$. D'autre part, +les coefficients de $A$ (resp. $B$) engendrent l'idéal unité de $R$. +Il résulte du lemme de McCoy-\jap{永田}, que l'anneau $R$ est nul. + +\begin{définition2} +On dit un polynôme à coefficients dans un anneau $A$ est +\emph{primitif} si l'idéal engendré par ses coefficients est $A$ +tout entier. +\end{définition2} + +\begin{proposition2} +Le produit de deux polynômes \emph{primitifs} est primitif. +\end{proposition2} + + + \subsection{Réduction modulo $p$}\label{réduction mod p} \subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme |