summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-07 14:45:03 (GMT)
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-07 14:45:03 (GMT)
commit8e413dfd65b006fade00c2ebd007564961cc90c5 (patch)
treece19b503340d51023cefd247e1959fbac071046b /chapitres
parent85c1b46323cd24a1d7c882283e3bd6ffd4a76f49 (diff)
downloadgalois-8e413dfd65b006fade00c2ebd007564961cc90c5.zip
galois-8e413dfd65b006fade00c2ebd007564961cc90c5.tar.gz
galois-8e413dfd65b006fade00c2ebd007564961cc90c5.tar.bz2
[ExG] relecture tout début : quelques mini-commentaires et corrections de coquilles
relecture jusqu'à exemple-galois-biquadratique-generique
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex28
1 files changed, 18 insertions, 10 deletions
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 8f86e74..bc6871c 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -60,8 +60,9 @@ cf. \refext{CG}{extensions-complexes-sur-reels}, qui fournit pour un
polynôme $f$ de degré $d=r+2s$ ayant $r$ racines réelles et $s$ paires
de racines complexes conjuguées, un automorphisme d'ordre $2$
de $\dec(f)$ dont la décomposition en cycles est le produit de $s$
-transpositions disjointes). Une façon plus générale est de réduire le
-polynôme $f$ considéré modulo différents nombres premiers $p$ et
+transpositions disjointes). Une façon plus générale
+\commentaire{« plus générale » un peu abusif ($p=∞$) non ?}
+est de réduire le polynôme $f$ considéré modulo différents nombres premiers $p$ et
d'appliquer un théorème de spécialisation tel
que \refext{CG}{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} : ceci
fournit, comme l'explique le
@@ -112,6 +113,7 @@ engendrer $\mathfrak{S}_d$. Lorsque ce n'est pas le cas, en revanche,
il faut également trouver des méthodes pour \emph{majorer} le groupe
de Galois. Quelques unes sont évidentes : lorsque $f$ n'est pas
irréductible, par exemple, son groupe de Galois est égal au produit de
+\commentaire{au produit des \emph{groupes de Galois} de ses …}
ses facteurs irréductibles (qu'on a supposés étrangers entre eux deux
à deux), c'est-à-dire qu'il est inclus dans le groupe des permutations
préservant la partition des racines de $f$ en celles de ses différents
@@ -161,9 +163,10 @@ affirmations qui demandent vérification sont d'une part le fait que le
polynôme $f$ est irréductible sur $\QQ$, c'est-à-dire que
$i \not\in \QQ$, ce qui résulte du fait que $i \not\in \RR$, et
d'autre part le fait que $f$ est séparable, c'est-à-dire que $i \neq
--i$, ce qui résulte du fait que $\QQ$ est de caractéritique $0$ donc
+-i$, ce qui résulte du fait que $\QQ$ est de caractéristique $0$ donc
+\commentaire{de caractéristique $0$ donc $1 ≠ -1$ (parfait n'est pas vraiment nécessaire)}
parfait. Dans cette perspective, l'automorphisme $i \mapsto -i$ est
-vu comme la restrictiction à $\QQ(i)$ de la conjugaison complexe
+vu comme la restriction à $\QQ(i)$ de la conjugaison complexe
(automorphisme de $\CC$ sur $\RR$,
cf. \refext{CG}{extensions-complexes-sur-reels}) : cet exemple
illustre donc le fait que la conjugaison complexe peut fournir un
@@ -210,7 +213,9 @@ $(-j-1)\root3\of2$. Reste à voir que $\root3\of2 \not\in \QQ$, ce qui
assurera que $\Gal(f)$ opère transitivement sur $R_f$, donc
$\Gal(f) \cong \mathfrak{S}_3$ (puisque le seul sous-groupe de
$\mathfrak{S}_3$ contenant une transposition et opérant transitivement
-est $\mathfrak{S}_3$) et en particulier l'irréductibilité de $f$ : de
+est $\mathfrak{S}_3$) et
+\commentaire{et \emph{entraînera} (ou variante) en particulier}
+en particulier l'irréductibilité de $f$ : de
nouveau il s'agit de voir $\root3\of2 \not\in \ZZ$, et pour cela on
peut utiliser un encadrement ou remarquer que $f_7 = X^3 - 2$ est
irréductible dans $\FF_7[X]$.
@@ -246,7 +251,7 @@ proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne} assure que
$\Gal(g) \subseteq \mathfrak{A}_3 = \ZZ/3\ZZ$.
\begin{remarque2}
-La différence entre les polynômes $f = X^2 - 2$ et $g = X^3 + X^2 - 2
+La différence entre les polynômes $f = X^3 - 2$ et $g = X^3 + X^2 - 2
X - 1$ que nous venons d'expliquer peut se constater à leur réduction
modulo divers nombres premiers : quel que soit le nombre premier $p$
modulo lequel on réduit $g$, le polynôme $g_p$ ainsi réduit ne peut
@@ -276,7 +281,9 @@ notera $2 + \sqrt{3}$ et $2 - \sqrt{3}$ les racines, a pour groupe de
Galois $\ZZ/2\ZZ$ (dont l'élément non trivial échange $\sqrt{3}$ et
$-\sqrt{3}$). Notons $\pm\sqrt{2+\sqrt{3}}$ et $\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}$
les quatre racines de $f$ sans pour le moment préciser si ou comment
-les signes sont liés. Le corps de décomposition $\dec(h)
+les signes sont liés.
+\commentaire{Je ne comprends pas le « sans préciser si … ». Les quatre signes sont possibles. Itou dans les exemples ci-dessous (2 fois)}
+Le corps de décomposition $\dec(h)
= \QQ(\sqrt{3})$ de $h$ est une sous-extension du corps de
décomposition $\dec(f) = \QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{3}})$ de $f$ : ainsi,
$\Gal(h)$ est un quotient de $\Gal(f)$, ce qui garantit que $\Gal(f)$
@@ -521,7 +528,7 @@ ce sous-groupe n'est pas distingué dans $G = \Gal(f)$, l'extension
$\QQ(\sqrt{2+\sqrt{5}}) \bo \QQ$ n'est pas galoisienne).
Pour continuer cet exemple, on peut de nouveau chercher les
-sous-extensions de $\QQ(\sqrt{2\bo\sqrt{5}}) \bo \QQ$ associées aux
+sous-extensions de $\QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{5}}) \bo \QQ$ associées aux
différents sous-groupes de $G$ par la correspondance de Galois. Outre
les cas triviaux de $\QQ$ (qui correspond à $G$) et
$\QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{5}})$ (qui correspond à $\{1\}$), on a vu que
@@ -765,8 +772,9 @@ d'un groupe $\mathfrak{G}$ naturellement relié à $Q = \Gal(h)$.
Pour fixer les idées, on appellera $\vartheta_i$ les racines de $h$
(indicées par $i\in I$, et on aura tendance à identifier tacitement
-$i$ à $\vartheta_i$) et $L = \QQ(\vartheta_i)$ le corps $\dec(h)$ de
-décomposition de $h$ dans un corps de décomposition $E = \dec(f)$
+$i$ à $\vartheta_i$) et $L = \QQ(\vartheta_i)$
+\commentaire{$\QQ(\vartheta_i)$ ⤳ $𝐐(θ_i,i ∈ I)$ plus clair ?}
+le corps $\dec(h)$ de décomposition de $h$ dans un corps de décomposition $E = \dec(f)$
fixé : pour chaque $i$ on choisit $\xi_i$ une racine carrée
de $\vartheta_i$, de sorte que $R_f = \{\pm\xi_i\}$ est l'ensemble des
racines de $f$ et $E = \QQ(\xi_i)$ en est le corps de décomposition.