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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 21:33:35 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-31 21:33:35 +0100
commit8e974aad89268218a0059545fe75e5b845beac22 (patch)
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[Spec] calculs de Hom (réduction au cas connexe) ; points d'un produit
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex107
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index b985442..3fb4a55 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -465,6 +465,7 @@ maximaux}, appliqués à $\Idem(A)$, on a donc :
π₀(A) = \japmath{田}\Idem(A)(𝐅₂),
\]
où l'ensemble de droite est $\Hom_{𝐅₂}(\Idem(A),𝐅₂)$.
+% ☡ la notation \japmath{田} s'accorde mal avec ⊞...
\begin{proposition2}
Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont
@@ -501,6 +502,7 @@ Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément
nul $0$ et l'unité $1$.
\subsubsection{Fonctorialité}
+\label{fonctorialité pi0}
Soit $f:A → B$ un morphisme d'anneaux.
L'image par $f$ d'un idempotent de $A$ étant idempotent,
le morphisme $f$ induit un morphisme d'anneau $\Idem(f):\Idem(A)
@@ -734,67 +736,84 @@ dans le second, $ε=1$. CQFD.
\end{démo}
\subsection{Une application : calculs d'ensembles d'homomorphismes}
-
-Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
+\subsubsection{}Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres. Posons $X=π₀(A)$ et $Y=π₀(B)$.
Chaque morphisme $f:A → B$ de $k$-algèbres induit une application
-$π₀(f)=φ:Y → X$. Fixons $𝔶 ∈ Y$. Notons $𝔵$ son image par $φ$
-et $A_𝔵$ (resp. $B_𝔶$) le quotient $A/𝔵A$ (resp. $B/𝔶B$).
-Le morphisme composé $A → B ↠ B_𝔶$ se factorise
-à travers le quotient $A ↠ A_𝔵$ en un morphisme
-$f_𝔶:A_𝔵 → B_𝔶$. En effet, $𝔵=\Idem(A) ∩ f^{-1}(𝔶)$
-est contenu dans $f^{-1}(𝔶)$, lui-même contenu
-dans le noyau de $A → B ↠ B_𝔶$. [...]
+$π₀(f):Y → X$. Fixons un élément point $𝔶$ de $Y$ ; son
+image $𝔵$ dans $X$ par $π₀(f)$ est l'idéal
+premier $\Idem(A) ∩ f^{-1}(𝔶)$ de $\Idem(A)$.
+Ce sous-ensemble de $A$ est contenu
+dans le noyau du morphisme composé $A \dessusdessous{f}{→} B ↠ B/𝔶B$.
+Il en résulte que le morphisme $f$ induit un morphisme $f_𝔶$
+de $k$-algèbres $A/𝔵A → B/𝔶B$. Faisant varier $𝔶$, on obtient
+un élément de l'ensemble produit $∏_{𝔶 ∈ Y} \Hom_k(A/π₀(f)(𝔶)A,B/𝔶B)$.
+
+Réciproquement, fixons $φ:Y → X$ et des morphismes $f_𝔶 ∈
+\Hom_k(A/φ(𝔶)A,B/𝔶B)$. On définit un morphisme de $k$-algèbres
+$A → ∏_{𝔶 ∈ Y} B/𝔶B$ en envoyant $a ∈ A$ sur $\big(f_𝔶(a \mod φ(𝔶)A)\big)_{𝔶 ∈ Y}$.
+Lorsque $Y$ est \emph{fini}, l'isomorphisme canonique $B ⥲ ∏_{𝔶 ∈ Y} B/𝔶B$ nous permet
+d'en déduire un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Par construction, les
+applications $d:f ↦ (π₀(f),(f_𝔶)_𝔶)$ et $s:(φ,(f_𝔶)_𝔶) ↦ f$ ainsi construites sont des bijections
+réciproques :
+%$d ∘ s=\Id$ et $s ∘ d=\Id$.
\begin{proposition2}
-Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres
-ayant un nombre fini de composantes connexe, l'application
+Soient $k$ un anneau et $A,B$ deux $k$-algèbres.
+Lorsque $B$ n'a qu'un nombre fini de composantes connexes,
+l'application
\[
-\Hom_k(A,B) → ∐_{φ: π₀(B) → π₀(X)} ∏_{𝔶 ∈ π₀(B)} \Hom_k(A_{φ(𝔶)},B_𝔶)
+\Hom_k(A,B) → ∐_{π₀(B) \dessusdessous{φ}{→} π₀(A)} \hskip1em ∏_{𝔶 ∈ π₀(B)} \Hom_k(A/φ(𝔶)A,B/𝔶B)
\]
est une bijection.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
+Cette proposition ramène le calcul d'ensembles d'homomorphismes
+au calcul de $π₀$ et d'ensembles d'homomorphismes
+entre anneaux connexes.
\begin{corollaire2}
-$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$.
-compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble. \XXX
+Soient $k$ un anneau \emph{connexe} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
+L'application $\End_{k}(k^X) → \End_{\Ens}(X)$, $f ↦ π₀(f)$,
+est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs.
\end{corollaire2}
-\begin{démo}
-cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
-\end{démo}
+La compatibilité avec la composition est un cas particulier
+de la fonctorialité du $π₀$ (\ref{fonctorialité pi0}).
+
+%\begin{démo}
+%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+%\end{démo}
+
+\subsection{Points d'un produit}
+Nous avons utilisé ci-dessus la propriété universelle
+suivante du produit d'anneaux : un morphisme vers
+un produit (quelconque) correspond bijectivement avec une collection
+de morphismes vers les facteurs du produit.
+Considérons la situation duale suivante : on se
+donne un anneau $k$, un produit fini $A=∏_{i ∈ I} A_i$
+de $k$-algèbres, une $k$-algèbre $B$ et enfin
+un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Pour chaque $i ∈ I$,
+notons $e_i$ l'idempotent non nul de $A$
+tel que $Ae_i$ soit l'idéal $A_i$ de $A$ et $f_i$ son
+image par le morphisme $f$. Tout comme les $(e_i)$,
+les $(f_i)$ sont des idempotents orthogonaux deux-à-deux
+et de somme égale à l'unité. Si l'anneau $B$ est \emph{connexe},
+il existe donc un unique $ι ∈ I$ tel que $f_ι=1$.
+Il en résulte que pour chaque $x ∈ A$,
+l'égalité $f(x)=∑_i f(xe²_i)=∑_i f(xe_i)f_i$
+devient $f(x)=f(xe_ι)f_ι$. En d'autres termes,
+$f$ se factorise à travers le quotient $A ↠ A_ι$.
+Nous avons démontré la proposition suivante.
\begin{proposition2}\label{produit=somme}
-Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
+Soient $k$ un anneau, $A=∏_{i ∈ I} A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.
-Le morphisme canonique
-$$
-∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B).
-$$
-déduit des applications $\Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)$ induites
-par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
-
-Soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, l'élément dont la seule coordonnée non nulle
-soit l'unité de $A_i$. Ces éléments sont idempotents, orthogonaux deux-à-deux
-et de somme égale à l'unité. Si $φ:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres,
-leurs images $f_i=φ(e_i)$ satisfont aux mêmes relations $f_i²=f_i$, $∑_i f_i=1$
-et $f_if_j=0$ si $i≠j$, cette fois dans $B$. Puisque $B$ est connexe,
-la relation $f_i²=f_i$ ne peut se produire que si $f_i∈\{0,1\}$. La troisième relation montre qu'il y a au plus
-un indice $i∈I$ tel que $f_i≠0$. Enfin, la première montre qu'il y en a au moins
-un puisque les $f_i$ ne peuvent être tous nuls. Finalement il existe un unique
-$i∈I$ tel que $φ(e_i)=1$. Ainsi, $φ(x)=φ(∑_j xe_j)=φ(xe_i)$.
-On en déduit immédiatement que $φ$ se factorise par l'application de
-passage au quotient $B↠A_i$. Ceci suffit pour conclure.
+L'application
+\[
+∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)
+\]
+induite par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-\end{démo}
-
-Pour des compléments ; cf. \refext{Boole}{}.
-
\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}