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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 17:48:01 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-09 17:48:01 +0100
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[LG] Poisson (suite)
Diffstat (limited to 'chapitres')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex152
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 3faa8e5..402ed6b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1611,7 +1611,12 @@ valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
-respectifs sont notés $Σ^u(K)$ et $Σ^a(K)$.
+respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$\footnote{Nous faisons
+le choix de pas utiliser les notations
+traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin de ne pas confondre
+les places archimédiennes et les places parfois considérées
+comme « à l'infini » en égale caractéristique, comme $(T^{-1})$
+dans $𝐅_p(T)$. \XXX}
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
@@ -1632,7 +1637,7 @@ $k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel et $v_x$ la valuation $K_x ↠
𝐙 ∪ \{+∞\}$.
\subsubsection{}
-Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^a(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
+Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente, $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
@@ -1652,9 +1657,9 @@ $𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$ — $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ étant la
valuation $p$-adique de $f$ — si $p$ est premier
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
-Ainsi, $𝒫 → Σ^u(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
+Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
-$\{∞\} → Σ^a(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
+$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
@@ -1710,7 +1715,7 @@ l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\begin{proposition2}
-Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^a(K)$ est
+Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est
\emph{fini}.
\end{proposition2}
@@ -1745,8 +1750,8 @@ $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
\subsection{}
-$\Frac 𝒪_K(U)=K$.
-$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.
+\[\Frac 𝒪_K(U)=K.\]
+\[\colim_U 𝒪_K(U)=K.\]
\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
@@ -1793,13 +1798,19 @@ Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minim
\subsection{Adèles}
-\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
+\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ un ensemble
+\emph{cofini} de places ultramétriques.
On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.
+Prendre garde de ne pas le confondre avec
+\[
+𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U) ⊆ K.
+\]
+
\[
K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
\]
@@ -1838,8 +1849,8 @@ $L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
-\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
-$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
+\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, l'inclusion canonique
+$𝒪_K(U) → ∏_{v ∉ U} K_v$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -1909,7 +1920,7 @@ Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
-\item Si $U ⊆ Σ_f(K)$ est cofini et contient les places infinies,
+\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient les places infinies,
l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -1931,7 +1942,7 @@ corollaire :
\begin{théorème2}
Sous l'hypothèse de (ii),
\[
-𝒪_U^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
+𝒪_K(U)^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
\]
où $r=♯U-1$.
\end{théorème2}
@@ -1948,7 +1959,7 @@ En particulier :
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
-Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
+Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}
@@ -2122,7 +2133,7 @@ $\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ_f(K)} 𝐙$ des
\begin{lemme2}
Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$,
-la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ_f(K)$, est presque
+la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, est presque
partout nulle.
\end{lemme2}
@@ -2250,7 +2261,7 @@ On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
-et pour presque tout $x ∈ Σ^u(K)$,
+et pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
$f_x=𝟭_{𝒪_x}$\footnote{D'après Kudla, « Tate's thesis »
p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
@@ -2258,20 +2269,25 @@ L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
p. 178 et p. 189. \XXX}
On écrit aussi $f=(f_x)_{x ∈ Σ(K)}$.
-Pour $f$ comme ci-dessus, on note $f^a$ (resp. $f^u$)
-la fonction $⊠_{x ∈ Σ^a(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^a(K)} K_x → 𝐂$
-(resp. $⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} f_x : ∏′_{x ∈ Σ^u(K)} K_x → 𝐂$,
+Pour $f$ comme ci-dessus, on définit les fonctions
+\[
+f^{\mathrm{arch}} = ⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x → 𝐂
+\]
+et
+\[
+f^{\mathrm{ultr}} = ⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏'_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} K_x → 𝐂,
+\]
où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
-aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^u(K)$), envoyant
-une famille $(a_x)$ sur le produit $∏_x f_x(a_x)$.
-Par construction, on a $f=f^a ⊠ f^u$.
-La fonction $f^u$ est combinaison linéaire de fonctions
-$⊠′_{x ∈ Σ^u(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^u_K$
+aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+Cette dernière envoie une famille $(a_x)$ sur le produit $∏_x f_x(a_x)$.
+Par construction, on a $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$.
+La fonction $f^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
+$⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^{\mathrm{ultr}}_K$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
-linéaire de fonctions $f^a ⊠ f^u$, où $f^u$
+linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
@@ -2429,6 +2445,12 @@ d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
\XXX détailler cette esquisse.
\end{démo}
+\begin{remarque2}
+Dans le cas des corps de fonctions, on
+peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
+% cf. Tate, cours à Harvard.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{}
Nous allons maintenant considérer le dual
du groupe abélien compact $K_𝐀 ∕ K$ des classes
@@ -2601,13 +2623,12 @@ Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
Cf. Goldstein, p. 150.
\end{remarques2}
-\subsubsection{Démonstration du (iii)}
+\subsubsection{Démonstration du (iii) : préliminaires}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
-Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$ et $Γ$
-son sous-groupe discret cocompact $K$. Soit $f ∈ 𝒮(G)$ une fonction.
-Soit $C$ un compact de $K_𝐀$. Vérifions le fait suivant :
+Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
+Vérifions le fait suivant :
\begin{quote}
-La somme de fonctions $g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g+γ)$ converge uniformément
+La somme de fonctions $x↦ ∑_{λ ∈ Γ} f(x+λ)$ converge uniformément
sur $C$.
\end{quote}
@@ -2620,22 +2641,75 @@ Pour chaque $v ∈ Σ(K)$, notons $C_v$ la projection de $C$
sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$
si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ;
c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse
-faite sur $K$.)
-La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
-que chaque terme $f(g+γ)$ de la somme est nul sauf peut-être
-si $γ ∈ Γ ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^\Supp$ désigne
+faite sur $K$.) La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
+que chaque terme $f(x+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
+si $λ ∈ K ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^\Supp$ désigne
l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(x,y)↦ x-y$.
-L'intersection de $Γ$ avec tout compact étant \emph{finie},
+L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie},
la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie
et le résultat en découle aussitôt.
❧ Cas ultramétrique.
+D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
+de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
+$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{a+n𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$
+($n_x=0$ pour presque tout $x$).
+Lorsque $x$ appartient à $C$, les termes $f(x+λ)$
+de la somme sont nuls sauf peut-être si
+$λ ∈ K ∩ \big((a+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
+où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans
+$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}=K_𝐀(Σ^{\mathrm{arch}})$.
+L'application $λ↦ a+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ a+n C^{\mathrm{ultr}}$)
+étant une bijection de $K$ dans $K$ (resp.
+de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$),
+on peut supposer que $a=0$ et $n=1$.
+Comme $|f^{\mathrm{ultr}}| ≤ 1$,
+il suffit donc majorer la somme :
+\[
+x^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(x^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|,
+\]
+où $λ^{\mathrm{ultr}}$ désigne l'image de $λ$
+dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{v ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_v ≃ 𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$.
+Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
+l'image de $𝒪$ par une homothétie de rapport dans $K$,
+on peut de même supposer le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
+de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
+Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
+$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.
+Il suffit donc de démontrer le fait suivant :
+\begin{quote}
+Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau
+de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente
+sur tout compact.
+\end{quote}
+La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée
+en exercice au lecteur.
+
+% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278.
+
+\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
+Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
+et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$.
+Soit $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
+déduite de
+\[
+g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
+\]
+par passage au quotient.
+Il résulte de \ref{caractères séparent les points}
+et du théorème de Stone-Weierstraß (\cite[X.§4, th. 3]{TG@Bourbaki}),
+que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
+par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$.
+Ainsi, la famille de ces caractères forme
+une base hilbertienne de l'espace Hilbertien
+séparable $L²(X)$. [...]
+
+ \[⁂\]
+
+
+
+
-En effet, on se ramène en caractéristique
-nulle au cas d'une place archimédienne (cf. p. ex. [Bump,
-p. 278] ou infra). \XXX En égale caractéristique $p>0$, la
-somme est finie sur tout compact (cf. \ref{Poisson implique RR}) \XXX.
-La fonction sur $G$ ainsi obtenue est $Γ$-périodique par
construction ; notons $F$ la fonction continue induite sur
le quotient (compact) $X=G \bo Γ$. Les caractères $π$
de $G \bo Γ$ séparent les points, comme nous l'avons vu