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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 18:31:23 +0100
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-01-26 18:31:23 +0100
commit94e38bdd9d8f797ab4b60ae07ec5d9426966d0a6 (patch)
tree52012175653d5c0b8db8211645d226c5add0522d /chapitres
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[calculs] Calculs en petits degrés (début).
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex39
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 3264c3b..5b9c444 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -266,7 +266,7 @@ La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
-\begin{proposition2}
+\begin{proposition2}\label{polynomes-invariants-de-sous-groupes}
Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
@@ -509,11 +509,11 @@ grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
\subsection{Utilisation de la notion de résolvante}
La stratégie générale pour le calcul algorithmique en pratique du
-groupe de Galois d'un polynôme $f$ irréductible de degré $d$ est la
-suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison près, tous
-les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les inclusions
-entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver seront
-esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces
+groupe de Galois d'un polynôme $f$ séparable irréductible de degré $d$
+est la suivante : dans un premier temps classifier, à conjugaison
+près, tous les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_d$ et les
+inclusions entre eux (certaines techniques permettant d'y arriver
+seront esquissées au chapitre suivant) ; puis, pour chacun de ces
sous-groupes, déterminer une résolvante dont la réductibilité ou non
assure (en utilisant la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes})
que le groupe de Galois appartient au sous-groupe en question
@@ -533,7 +533,32 @@ preuve de celle-ci).
\XXX --- À expliquer : pourquoi on risque d'avoir besoin de
transformations de Tschirnhausen et pourquoi elles conviennent ; et ce
qui va se passer pour évaluer des résolvantes dans $\mathfrak{G}$ (pas
-très clair dans ma tête, ça0).
+très clair dans ma tête, ça).
+
+
+\section{Calculs en petits degrés}
+
+\subsection{Degrés $2$ et $3$}
+
+En degré $2$, il n'y a aucun calcul à faire : le groupe de Galois d'un
+polynôme séparable irréductible quadratique est
+nécessairement $\ZZ/2\ZZ$.
+
+En degré $3$, le seul sous-groupe transitif non-trivial de
+$\mathfrak{S}_3$ est $H = \mathfrak{A}_3 = \ZZ/3\ZZ$ opérant comme
+groupe des permutations cycliques sur les $3$ éléments. Un exemple de
+polynôme $P$ en trois variables $Z_1,Z_2,Z_3$ dont le stabilisateur
+dans $\mathfrak{S}_3$ soit $H$ (au sens
+de \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}, et essentiellement
+celui donné par la proposition en question) est le polynôme $P = Z_1
+Z_2^2 + Z_2 Z_3^2 + Z_3 Z_1^2$ (sur n'importe quel corps) : si $f =
+X^3 + a_1 X^2 + a_2 X + a_3$, alors la résolvante de $f$ relativement
+à $P$ vaut $R_P(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 3 a_3)\,X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 -
+6 a_1 a_2 a_3 + 9 a_3^2)$. Un autre exemple, sur un corps de
+caractéristique $\neq 2$, est le polynôme $Q = (Z_1-Z_2) (Z_2-Z_3)
+(Z_3-Z_1)$ : la résolvante de $f$ relativement à $Q$ vaut $R_Q(f) =
+X^2 + (-a_1^2 a_2^2 + 4 a_1^3 a_3 + 4 a_2^3 - 18 a_1 a_2 a_3 + 27
+a_3^2)$.