[LG] calcul de volume : cas trivial des corps de fonctions

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index e3b2f81..9afaa47 100644
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@@ -4430,27 +4430,41 @@ $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
 où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
 est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit
 restreint des mesures locales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$.
+(Lorsque $K$ est un corps de fonctions, c'est l'unique mesure de Haar pour laquelle
+le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.)
 Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
 théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
 
-\subsubsection{Analogue multiplicatif}
-
-[...]
-
 \begin{théorème2}
-Si $K$ est un corps de nombres,
-\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
-\]
-sinon
+Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
+de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de
+Picard. Alors,
+
 \[
-\frac{h}{w=q-1}
+\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)
+= \frac{h}{w}×
+\begin{cases}
+\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}\frac{R}{√{|D|}}  & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\end{cases}
 \]
 \end{théorème2}
 
-Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
-[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
-puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
+\begin{démo}
+Commençons par traiter le cas d'un corps de fonctions.
+La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$
+nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$.
+Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau
+$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors
+le l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$
+et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$.
+
+\end{démo}
+
+Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].
+(Il manque peut-être une puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
+
+
 
 \section{Fonctions zêta}