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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 17:21:26 +0200 |
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committer | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-10-26 17:21:26 +0200 |
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[LG] calcul de volume : cas trivial des corps de fonctions
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 40 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index e3b2f81..9afaa47 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4430,27 +4430,41 @@ $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$ où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures locales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$. +(Lorsque $K$ est un corps de fonctions, c'est l'unique mesure de Haar pour laquelle +le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.) Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}. -\subsubsection{Analogue multiplicatif} - -[...] - \begin{théorème2} -Si $K$ est un corps de nombres, -\[ -μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}. -\] -sinon +Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines +de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de +Picard. Alors, + \[ -\frac{h}{w=q-1} +\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×) += \frac{h}{w}× +\begin{cases} +\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}\frac{R}{√{|D|}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\ +\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0, +\end{cases} \] \end{théorème2} -Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou -[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une -puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX) +\begin{démo} +Commençons par traiter le cas d'un corps de fonctions. +La suite exacte $1 → 𝒪_{K_𝐀}^× → C_K^{=1} → \Pic⁰(X) → 1$ +nous ramène à montrer que $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×)=1/w$. +Or, la surjection $𝒪_{K_𝐀}^× ↠ 𝒪_{K_𝐀}^× K^×/K^×$ a pour noyau +$𝒪_{K_𝐀}^× ∩ K^× = k^×$, de cardinal $q-1$. La conclusion résulte alors +le l'égalité (tautologique) $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(𝒪_{K_𝐀}^×)=1$ +et de la définition de $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$. + +\end{démo} + +Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53]. +(Il manque peut-être une puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX) + + \section{Fonctions zêta} |