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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 15:41:04 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 15:41:04 +0200
commit9c5d8ceb7bbbb0235d050f13c70549ce037118b5 (patch)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex89
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index aa0eb40..8d727cb 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -52,35 +52,90 @@ Corps locaux, corps globaux
\subsection{Premières définitions, notations}
-On note $𝐐_{∞}=𝐑$.
-
\begin{définition2}
-On appelle \emph{corps local premier} un corps isomorphe
-à $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
-séries de Laurent $𝐅_p((t))$. On appelle \emph{corps local}
-un corps contenant un corps local premier et fini sur celui-ci.
+On appelle \emph{corps local premier} un corps
+isomorphe à $𝐐_p$ — où $p$ est un nombre premier ou bien
+$p=∞$, auquel cas $𝐐_∞=𝐑$ — ou bien isomorphe au corps des séries
+de Laurent formelles $𝐅_p((t))$, où $p$ est un nombre
+premier.
\end{définition2}
-\begin{remarques2}
+Les corps locaux premiers sont naturellement munis d'une
+topologie (\refext{AVD-Dedekind}{}) ; ce sont même des corps topologiques (\refext{AVD-Dedekind}{}).
+
+\begin{théorème2}
+\label{caractérisation corps locaux}
+Soit $K$ un corps topologique non archimédien. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
-\item On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}, [Ramakrishnan]) est localement compact
-si et seulement si il peut être muni d'une topologie
-non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
-\item Prendre garde au fait que si un corps local de caractéristique $p>0$
-contient le sous-corps $𝐅_p((t))$, il contient également le sous-corps
-\emph{isomorphe} $𝐅_p((t^p))$, etc. En particulier, et contrairement au cas
-de la caractéristique nulle, il n'y a pas unicité du sous-corps local
-premier d'un corps local.
+\item Il existe un sous-corps local premier $K₀$ de $K$ tel que $K\bo K₀$ soit fini et $K₀$ soit fermé dans $K$.
+\item La topologie de $K$ est complète et induite par une valuation discrète à corps résiduel fini.
\end{enumerate}
-\end{remarques2}
+De plus, lorsque $K$ est d'égale caractéristique $p>0$ et de corps résiduel $k$,
+un corps satisfaisant les conditions précédentes est isomorphe
+au corps des séries de Laurent formelles $k((t))$.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+(i) ⇒(ii). Soient $K$ et $K₀$ comme dans l'énoncé et soit $d=[K:K₀]$.
+En tant que $K₀$ espace vectoriel, $K$ est isomorphe à $K₀^d$.
+
-Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
+
+
+cf. :
+\refext{AVD-Dedekind}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique},
+\refext{AVD-Dedekind}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
+et \refext{AVD-Dedekind}{prolongement valuations}.
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}Soit $K$ un corps local de local de caractéristique $p>0$
+et $K₀$ un sous-corps isomorphe à $𝐅_p((t))$, fermé dans $K$.
+Le sous-corps $K₀^p$ de $K$ est également isomorphe
+à $𝐅_p((t))$ et fermé dans $K$ : il n'y a pas unicité du
+sous-corps $K₀$ dans le (i) du théorème sous-corps local premier d'un corps local.
+Le fait que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$ résulte
+du fait que la dérivation par rapport à $t$, $f ↦ f ′$,
+est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.
+\end{miseengarde2}
+
+\subsubsection{}On fixe dorénavant un corps local $K$.
+On dit que $K$ est \emph{ultramétrique} lorsqu
Lorsque $K$ est ultramétrique, on note $𝒪$
son anneau des entiers\footnote{On vérifie immédiatement
que $𝒪$ est le sous-anneau compact maximal de $K$.},
d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$, et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.
+\begin{proposition2}
+Localement compact.
+\end{proposition2}
+
+Réciproquement, on peut montrer (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil},
+ou Bourbaki, AC, VI.§9) %[Ramakrishnan]
+qu'un corps est local si et seulement si il peut être muni d'une topologie
+non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
+Supposons pour simplifier que $K$ soit un corps valué non
+archimédien, localement compact.
+Soient $C$ un voisinage compact de l'origine $0 ∈ K$,
+$𝔞=\{x ∈ K:|x| ≤ 1\}$ et $π$ un élément de l'idéal
+maximal $𝔭=\{x ∈ K:|x|<1\}$. Il existe un entier $n$ tel que
+$π^n 𝔞$ soit contenu dans $C$. Il en résulte que $π^n 𝔞$,
+qui est fermé, est également compact. Il en résulte que $𝔞$
+est séquentiellement compact et, finalement, que $K$ est
+complet. Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
+de $𝔞/𝔭$. L'ensemble $𝔞$ est recouvert par les ouverts
+disjoints $\{x ∈ K:|x-x_i|<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
+fini : le corps résiduel $k=𝔞/𝔭$ est donc fini. Le quotient
+$𝔞/𝔭$ étant fini, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝔞$ donc
+compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
+$\{x:|x|<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
+tel que $𝔭=\{x:|x|<1-1/n\}$ : la valuation est discrète.
+% voir aussi Bourbaki, AC, VI.§5, prop. 2
+
+La construction d'une valeur absolue sur un corps
+topologique localement compact repose sur la théorie de
+l'intégration (cf. Bourbaki, \emph{op. cit.}).
+
\begin{définition2}
valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
\end{définition2}