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path: root/chapitres
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 16:50:20 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-02 16:50:20 +0100
commit9c77877f3a568ebcbe4fdff7e1ece3cf1130e32e (patch)
tree104986f3753e6d0c74df91011c9862e0c58f69e1 /chapitres
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[Spec] oubli : Spec(∏)=∐Spec
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-rw-r--r--chapitres/spectre.tex59
1 files changed, 35 insertions, 24 deletions
diff --git a/chapitres/spectre.tex b/chapitres/spectre.tex
index 3da134f..177f4ad 100644
--- a/chapitres/spectre.tex
+++ b/chapitres/spectre.tex
@@ -881,44 +881,55 @@ de la fonctorialité du $π₀$ (\ref{fonctorialité pi0}).
%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
%\end{démo}
-\subsection{Points d'un produit}
+\subsection{Points et spectre d'un produit}
Nous avons utilisé ci-dessus la propriété universelle
suivante du produit d'anneaux : un morphisme vers
un produit (quelconque) correspond bijectivement avec une collection
de morphismes vers les facteurs du produit.
Considérons la situation duale suivante : on se
-donne un anneau $k$, un produit fini $A=∏_{i ∈ I} A_i$
+donne un anneau $k$, un produit fini $A=∏_{x ∈ X} A_x$
de $k$-algèbres, une $k$-algèbre $B$ et enfin
-un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Pour chaque $i ∈ I$,
-notons $e_i$ l'idempotent non nul de $A$
-tel que $Ae_i$ soit l'idéal $A_i$ de $A$ et $f_i$ son
-image par le morphisme $f$. Tout comme les $(e_i)$,
-les $(f_i)$ sont des idempotents orthogonaux deux-à-deux
+un morphisme $f ∈ \Hom_k(A,B)$. Pour chaque $x ∈ X$,
+notons $e_x$ l'idempotent non nul de $A$
+tel que $Ae_x$ soit l'idéal $A_x$ de $A$ et $f_x$ son
+image par le morphisme $f$. Tout comme les $(e_x)$,
+les $(f_x)$ sont des idempotents orthogonaux deux-à-deux
et de somme égale à l'unité. Si l'anneau $B$ est \emph{connexe},
-il existe donc un unique $ι ∈ I$ tel que $f_ι=1$.
-Il en résulte que pour chaque $x ∈ A$,
-l'égalité $f(x)=∑_i f(xe²_i)=∑_i f(xe_i)f_i$
-devient $f(x)=f(xe_ι)f_ι$. En d'autres termes,
-$f$ se factorise à travers le quotient $A ↠ A_ι$.
-Nous avons démontré la proposition suivante.
-
-\begin{proposition2}\label{produit=somme}
-Soient $k$ un anneau, $A=∏_{i ∈ I} A_i$ un produit fini de $k$-algèbres
-et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.
-L'application
+il existe donc un unique $y ∈ X$ tel que $f_y=1$.
+Il en résulte que pour chaque $a ∈ A$,
+l'égalité $f(a)=∑_x f(ae²_x)=∑_x f(ae_x)f_x$
+devient $f(a)=f(ae_y)f_y$. En d'autres termes,
+$f$ se factorise à travers le quotient $A ↠ A_y$.
+Enfin, si $𝔭$ est un idéal premier de $A$,
+le quotient $A/𝔭$ est intègre donc connexe si bien
+que, d'après ce qui précède, le morphisme $A ↠ A/𝔭$ se factorise, de façon
+unique, à travers un quotient $q:A ↠ A_{x_𝔭}$ : l'idéal
+$𝔭 ∈ \Spec(A)$ appartient à l'image de l'injection $\Spec(q)$.
+
+Nous avons démontré de la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}
+\label{produit=somme}
+Soient $k$ un anneau et $A=∏_{x ∈ X} A_x$ un produit fini de $k$-algèbres.
+\begin{enumerate}
+\item Pour toute $k$-algèbre \emph{connexe} $B$, l'application
\[
-∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)
+∐_x \Hom_k(A_x,B)→\Hom_k(A,B)
\]
-induite par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
+induite par les surjections $A↠A_x$ est une \emph{bijection}.
+\item L'application $∐_x \Spec(A_x) → \Spec(A)$
+déduite des applications canoniques $\Spec(A_x) → \Spec(A)$
+est une \emph{bijection}.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}
-\item Montrer que si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille \emph{finie}
-d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_i e_i=1$,
-le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
-La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
+\item Montrer que si $(e_x)_{x∈X}$ est une famille \emph{finie}
+d'idempotents deux à deux orthogonaux telle que $∑_x e_x=1$,
+le morphisme $A→∏_x Ae_x$, $a\mapsto (ae_x)_{x∈X}$, est un isomorphisme.
+La propriété $∑_x e_x=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)
\item Montrer qu'une telle famille existe si et seulement si $π₀(A)$ est fini.
Comparer le résultat obtenu avec \ref{décomposition en produit de connexes si pi0 fini}.